林 翔

(福建商業(yè)高等?？茖W(xué)校計(jì)算機(jī)系，福建福州 350012)

JB/T 7557 – 1994《同軸度誤差檢測(cè)》中數(shù)據(jù)處理方法之疑議與補(bǔ)缺

林 翔

(福建商業(yè)高等?？茖W(xué)校計(jì)算機(jī)系，福建福州 350012)

JB/T 7557 – 1994《同軸度誤差檢測(cè)》在數(shù)據(jù)處理過程中遇到的minmax問題頗具典型性，其取用的計(jì)算方法在關(guān)鍵環(huán)節(jié)沒有給出明確闡述，令人對(duì)其算法的合理性與計(jì)算結(jié)果的可靠性產(chǎn)生疑義，為此另辟路徑尋找滿足“最小區(qū)域”原則的合理算法，提高了計(jì)算精度，修正了該文獻(xiàn)附錄B算例中之11個(gè)截面圓計(jì)算結(jié)果，進(jìn)而修正了同軸度誤差的最終評(píng)定值.

同軸度誤差；新算法；高精度；精密檢測(cè)

圖1 文獻(xiàn)[1]中αi、e示意圖

從JB/T 7557 – 1994《同軸度誤差檢測(cè)》[1]可知，測(cè)量與數(shù)據(jù)處理是同軸度誤差評(píng)定的兩大內(nèi)容，數(shù)據(jù)處理又以求取基準(zhǔn)軸線為核心重點(diǎn).文獻(xiàn)[1]認(rèn)為，基準(zhǔn)軸線的確定，是在獲取基準(zhǔn)要素回轉(zhuǎn)面上各截面所有測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)之后，選定四種方法之一進(jìn)行計(jì)算，由此生成回轉(zhuǎn)面的中軸線作為基準(zhǔn)軸線.此四法是最小區(qū)域法、最小二乘法、最小外接法和最大內(nèi)接法，而且將“最小區(qū)域法”作為首選算法，并敘述了求取基準(zhǔn)軸線過程的詳細(xì)操作步驟，見圖1.

文獻(xiàn)[1]首先設(shè)定基準(zhǔn)要素是若干個(gè)正截面圓，每個(gè)截面圓周上均布有若干測(cè)量點(diǎn)，需要解決的核心問題是求出各個(gè)截面圓的中心位置.很顯然，符合“最小區(qū)域法”的圓心求取問題，其實(shí)就是一個(gè)典型的minmax求解問題，文獻(xiàn)[1]在求取過程中對(duì)這一關(guān)鍵環(huán)節(jié)描述是：

b. 按一定優(yōu)化方法移動(dòng)中心O至O′；其中

Δri：中心移動(dòng)前的半徑差值；

e：中心移動(dòng)量；

αi：測(cè)點(diǎn)徑向線ri與中心移動(dòng)方向線OO′之間的夾角.

αi、e分別是移動(dòng)中心O至O′的方向和步長(zhǎng)，移動(dòng)O至O′的目的是使“誤差帶”逐步向“最小區(qū)域”逼近，從而求出符合“最小區(qū)域”原則的截面圓心.

遺憾的是文獻(xiàn)[1]對(duì)所謂的“一定優(yōu)化方法”未做交代，對(duì)αi、e這兩個(gè)關(guān)鍵數(shù)值的來龍去脈沒有作具體說明，令人無所適從.不可避免的，筆者對(duì)文獻(xiàn)[1]附錄B應(yīng)用示例中4個(gè)基準(zhǔn)截面圓中心、7個(gè)被測(cè)截面圓中心的計(jì)算結(jié)果是否符合“最小區(qū)域”原則、該示例的同軸度誤差的最終評(píng)定結(jié)果之合理性，產(chǎn)生了疑義，繼而試著尋求更優(yōu)化的算法，重新評(píng)定附錄B中計(jì)算結(jié)果的可靠性與高精度性，對(duì)正確運(yùn)用國標(biāo)有所裨益.

1 “最小區(qū)域”意義下求圓心之?dāng)?shù)學(xué)模型

所要推敲的基準(zhǔn)截面圓中心、被測(cè)截面圓中心問題，都屬于minmax求解問題，歸納起來可以表述為：某一實(shí)測(cè)圓，圓周上均布有n個(gè)測(cè)點(diǎn)Qk(xk,yk)（k＝1~n），要以點(diǎn)集Qk（k＝1~n）為基礎(chǔ)擬合出兩個(gè)同心圓，不妨記共同圓心為O(xO,yO)，Qk至圓心O的距離為sk（k＝1~n），按照“最小區(qū)域”判定原則的要求，圓心O應(yīng)該滿足下式：

f表達(dá)式的幾何意義是：有兩個(gè)同心圓，所有的點(diǎn) Qk(xk,yk)（k＝1~n）都落在兩個(gè)圓之間，且這兩個(gè)圓之間的區(qū)域達(dá)到最小.表達(dá)式中max(sk)為同心圓中的大圓半徑，min(sk)為小圓半徑，因此“f—＞min”也可看作是兩個(gè)同心圓的半徑之差趨于最小，如此則O點(diǎn)就是符合所謂的“最小區(qū)域”原則的圓心，也就得到我們所求取的擬合同心圓了.

這一典型的minmax問題是離散型的，筆者經(jīng)過觀察比較，另辟蹊徑尋找一種既符合“最小區(qū)域”概念且又適用易用的新算法，作為“一定優(yōu)化方法”的一種詮釋.

2 新算法

仍然圍繞αi、e來展開討論.αi是中心O的移動(dòng)方向，e是移動(dòng)步長(zhǎng)，αi、e取值的原則是必須使得 f值降下來；而要使 f＝max(sk)－min(sk)值下降，只要讓max(sk)降下來、讓min(sk)升上去，就可以實(shí)現(xiàn).筆者發(fā)現(xiàn)，一個(gè)特殊三角形的外角平分線的方向，具備作為αi候選方向的特性.

記擬合圓的臨時(shí)中心為O，Qk(xk,yk)（k＝1~n）距O最遠(yuǎn)、最近的點(diǎn)分別為Ql、Qm，即OQl＝max(sk)、OQm＝min(sk)，△QlQmO構(gòu)成一個(gè)特殊的三角形.延長(zhǎng) QmO，作直線 OP，∠QlOP為△QlQmO的一個(gè)外角，自O(shè)點(diǎn)作∠QlOP的平分線OL，如圖2所示，OL即可作為αi的一個(gè)可選方向.證明如下：

沿OL方向取點(diǎn)O′，令OO′＝e（e是一個(gè)很小的步長(zhǎng)），使得△OO′Ql之∠OO′Ql為鈍角，則有不等式成立：

對(duì)于△OO′Qm，∠QmOO′必為鈍角，故也有不等式成立：

綜合（1）、（2）兩式，可得不等式：

可見只要e值取得很小，沿外角平分線OL方向選定一個(gè)新的圓心O′，就可能把f值降下來.

解決了αi的取值問題，以下討論e的取值.

易知，如果以“最小二乘圓”的圓心作為“最小區(qū)域圓”的初始圓心O，則此時(shí)的f值已經(jīng)很接近“最小區(qū)域”了，所以對(duì)O的移動(dòng)，肯定是小幅度的，因此e值必然是個(gè)很小的值.記“最小二乘”圓心為O2(x′′,y′′)，

有f2＝max(s′′k)－min(s′′k)（k＝1~n）.

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，“最小區(qū)域”意義下的f值通常要比“最小二乘”意義下的f2值小10%左右，因此不妨令e＝f2/10.

e只是一個(gè)初始的步長(zhǎng)取值.如果經(jīng)判斷，f值下降了，即用O′取代O；如果f值沒有下降，則減小e值，取原e值一半，即e＝e/2，重新對(duì)O點(diǎn)進(jìn)行移動(dòng)判斷.

隨著f值不斷逼迫“最小區(qū)域”，e的取值必然地不斷在減??；當(dāng)e是一個(gè)很小很小的值，達(dá)到了計(jì)算精度要求之時(shí)，停止計(jì)算，輸出結(jié)果.

特殊情況的處理：

如果Ql、Qm、O三點(diǎn)成一線，△QlQmO中∠QlOQm是個(gè)平角，不妨仍將△QlQmO當(dāng)作普通三角形對(duì)待，計(jì)算過程如法炮制，與前述無異.

如果Qk(xk,yk)（k＝1~n）距O最遠(yuǎn)點(diǎn)不止一個(gè)“Ql”而是有S個(gè)，距O最近點(diǎn)也不止一個(gè)“Qm”而是有T個(gè)，則處理的辦法是：從S個(gè)“Ql”和T個(gè)“Qm”中各取一個(gè)點(diǎn)與O組成一個(gè)特殊三角形，則這樣的特殊三角形就有S*T個(gè)；對(duì)這些三角形逐個(gè)進(jìn)行計(jì)算求出相應(yīng)的外角平分線，其中能使f值下降最多者，就選定其作為特殊三角形.

以上是對(duì)計(jì)算過程的要點(diǎn)敘述.當(dāng)αi、e確定以后，接下來的計(jì)算工作須回到文獻(xiàn)[1]規(guī)定的算法流程，進(jìn)行“最小區(qū)域”意義下求截面圓中心的全過程計(jì)算.

3 算法的驗(yàn)證

按上述算法，以C語言編程，對(duì)文獻(xiàn)[1]附錄B中的4個(gè)基準(zhǔn)截面圓和7個(gè)被測(cè)截面圓算例進(jìn)行驗(yàn)算，計(jì)算結(jié)果列出如下：

3.1 基準(zhǔn)柱面上的4個(gè)截面圓

表1 基準(zhǔn)柱面上的4個(gè)截面圓計(jì)算結(jié)果比較

3.2 被測(cè)柱面上的7個(gè)截面圓

表2 被測(cè)柱面上的7個(gè)截面圓計(jì)算結(jié)果比較

經(jīng)比較可見，本算法計(jì)算的全部11個(gè)截面圓f值，都要比原文小，尤其是第III截面圓、第4截面圓，f值比原文的值小了約6%和13%.

3.3 其他“最小區(qū)域圓”算例

為進(jìn)一步驗(yàn)證本算法的高精度性，筆者還對(duì)文獻(xiàn)[2-7]共6篇與“最小區(qū)域圓”有關(guān)的文章中列出的算例，進(jìn)行驗(yàn)算.這些文章各給出了一個(gè)算例，現(xiàn)將原文結(jié)果與本文算法計(jì)算的結(jié)果列出如下，便于比較：

表3 文獻(xiàn)[2-7]6個(gè)算例原結(jié)果與本文算法計(jì)算結(jié)果比較

比較而言，本文所提出的算法在精度方面切實(shí)體現(xiàn)出了一定的優(yōu)勢(shì)，文獻(xiàn)[3]算例計(jì)算精度甚至提高了25%.

4 同軸度誤差算例

（1）以上述4個(gè)基準(zhǔn)截面圓心和7個(gè)被測(cè)截面圓心坐標(biāo)為基礎(chǔ)，繼續(xù)計(jì)算工作，把文獻(xiàn)[1]附錄B中同軸度誤差算例之最終結(jié)果求出來.

先求取基準(zhǔn)柱面軸線：

按文獻(xiàn)[1]規(guī)定，要求出基準(zhǔn)軸線，必須求出包容OI– OIV四個(gè)點(diǎn)的“最小外包圓”的圓心O外.

為此，引進(jìn)文獻(xiàn)[8]中關(guān)于“最小外包圓”的算法，求得圓心坐標(biāo)為O外(-0.127 40, -0.096 78).

再求取同軸度誤差值：

計(jì)算O1– O7等7個(gè)點(diǎn)至O外的最大距離，再翻番，即同軸度誤差值，該值為10.809 77 μm；原文給出的同軸度誤差值為10.67 μm.

（2）其他同軸度誤差算例

文獻(xiàn)[9]給出了一個(gè)算例，共有2個(gè)基準(zhǔn)截面圓、4個(gè)被測(cè)截面圓.本文算法計(jì)算各截面圓及同軸度誤差結(jié)果列出如下表：

表4 文獻(xiàn)[9]算例計(jì)算結(jié)果

（3）文獻(xiàn)[10]附錄中給出了一個(gè)同軸度誤差的算例，基準(zhǔn)軸線為空間坐標(biāo)系的z軸，被測(cè)圓柱上有6個(gè)等距橫截面圓.用本文算法計(jì)算各截面圓結(jié)果及同軸度誤差如下表：

表5 文獻(xiàn)[10]算例計(jì)算結(jié)果

5 小 結(jié)

文獻(xiàn)[1]中數(shù)據(jù)處理環(huán)節(jié)的核心問題是典型的minmax問題，文中所述的算法過于隱晦，不具可操作性，故而筆者就此展開討論，尋求符合“最小區(qū)域”法則的有針對(duì)性算法.以“特殊三角形”的外角平分線為突破口，圍繞αi、e的原始概念進(jìn)行算法推演，并且對(duì)算法的合理性進(jìn)行了簡(jiǎn)單的證明，對(duì)αi、e的取值給出了具體說明，同時(shí)對(duì)可能出現(xiàn)的“特殊現(xiàn)象”也提出了處理意見.經(jīng)過若干的算例驗(yàn)算與結(jié)果比較，在證明了本算法合理性的同時(shí)，也證明了其高精度性和實(shí)用性.

特殊三角形的外角平分線方向不一定是αi的最佳選擇，但它是一種可行的選擇，它能使f值單調(diào)下降逐步逼近“最小區(qū)域”，這是本算法具備高精度的主要因素之一，不妨將其作為“一定優(yōu)化方法”的算法補(bǔ)缺.本文引用的算例有限，歡迎同行專家指正，把文獻(xiàn)[1]中存在的問題解決好.

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Data Processing Method’s Doubt and Supplement ofCoaxial Error Detection(JB/T 7557 – 1994)

LIN Xiang
(Computer Science Department, Fujian Commercial College, Fuzhou, China 350012)

The minmax in the data processing ofCoaxial Error Detection(JB/T 7557 – 1994) is a typical problem. The reasonability of its algorithm and reliability of its calculating results were doubtful because many key steps of the calculating method adopted were not clearly expounded. Given this, a rational algorithm which fits with the “minimum area” principle was chosen to improve the calculating accuracy and correct 11 circular cross-section results in algorithm of Appendix B. Then, the final assessment of coaxial error was corrected.

Coaxial Error; New Algorithm; High-precision; Sophisticated Detection

(編輯：封毅)

TH161

A

1674-3563(2012)02-0022-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2012.02.004 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

2011-09-27

林翔(1963- )，男，福建福州人，副教授，高級(jí)工程師，碩士，研究方向：精密檢測(cè)領(lǐng)域的算法研究及計(jì)算機(jī)應(yīng)用編程