摘要：本文主要介紹如何用數(shù)學中的函數(shù)思想解決物理習題。

關鍵詞：物理問題；函數(shù)思想

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148(2011)5(S)-0012-3

培養(yǎng)學生利用數(shù)學知識解決物理問題的能力是中學物理教學的基本要求。函數(shù)是數(shù)學的重要組成部分，若以函數(shù)思想來審視物理中的變量之間的關系，往往能夠化難為易，化繁為簡，起到事半功倍的作用，不但能提高學生的知識遷移能力，而且可以開闊學生的視野，加強學生對物理學習的深度，激發(fā)學生的興趣。

1 注意運用函數(shù)的表達形式解決物理問題

用函數(shù)思想審視物理中的變量，建立相應變量之間的函數(shù)關系，通過選擇函數(shù)的表達形式，如圖像、解析式、列表等，可以將物理中的定量問題和定性問題相互轉化，有時效果令人驚喜。

例1 做勻變速直線運動的物體，在某一段時間內(nèi)，經(jīng)過中間時刻的速度v1和經(jīng)過中點位置的速度v2，哪一個大？

分析 如果按照常規(guī)思路，對問題進行定量計算，要先設初、末速度，再根據(jù)經(jīng)過中間時刻的速度v1與經(jīng)過中點位置的速度v2分別跟初、末速度的關系，列方程求出v1和v2，對v1-v2運用不等式的性質判斷正負，需大費周折，才能解決。從另一個角度，視速度為時間的函數(shù)，利用函數(shù)的圖像并結合積分的幾何意義，容易找到簡捷解法。

解 勻變速直線運動的速度v與時間t的函數(shù)v=f(t)的圖像如圖1所示。

觀察圖像可知，中間時刻的速度v1就是t=t02時的速度，直線t=t1將梯形的面積平分，由∫t00f(t)dt的幾何意義可知，中點位置的速度v2就是t=t1時的速度，中間時刻的速度v1小于中點位置的速度v2。

運用函數(shù)圖像，通過數(shù)形結合，直觀、形象地反映物理量之間的關系，既能加深對物理規(guī)律的理解，又可減少計算量。

2 關注函數(shù)的定義域與值域的制約關系解決物理中的范圍問題

已知一個物理量的取值范圍，確定另一個物理量的取值范圍時，若以函數(shù)思想看待這樣的問題，將一個物理量視為另一個物理量的函數(shù)，將定義域對值域的制約作用恰當?shù)剡\用到物理問題的解決過程中，讓人感到妙處無窮。

例2 初速度為零的離子經(jīng)過電勢差為U的電場加速后，從離子槍T中水平射出，經(jīng)過一段路程后進入水平放置的兩平行金屬板MN和PQ中間。離子所經(jīng)空間存在一磁感應強度為B的勻強磁場（如圖3），不考慮重力作用。離子的比荷qm（q，m分別是離子的電量與質量）在什么范圍內(nèi)，離子才能打在金屬板上？

分析 離子通過電場加速后進入磁場，在磁場力作用下，做勻速圓周運動發(fā)生偏轉。假設離子從進入磁場到打在金屬板上某一點的水平距離為x，只要建立一個qm跟x的函數(shù)表達式，視qm為x的函數(shù)，依據(jù)題意確定x的范圍，即定義域，再根據(jù)定義域求值域，從求得qm范圍。

解 當離子經(jīng)過電場加速后有

12mv2=qU（1）

在磁場中受到洛侖茲力作用，做勻速圓周運動得

Bvq=mv2R（2）

當離子打在金屬板上時，根據(jù)幾何關系有：

R2=x2+(R-d2)2（3）

聯(lián)立（1）、（2）、（3）解得

qm=2Ud2(x2+d24)2B2(4)

(4)式就是qm關于x的一個函數(shù)表達式。依題意離子能打在金屬板上，則x的定義域為d≤x≤2d，于是可求得qm的值域32U289d2B2≤qm≤32U25d2B2，所以離子的比荷qm取值范圍為32U289d2B2≤qm≤32U25d2B2時，離子才能打在金屬板上。

3 運用函數(shù)的性質求物理中的變量問題

已知某一個或幾個物理量的變化，討論另一個物理量的變化和極值時，若以函數(shù)的觀點看待這些問題，可以用函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值等這些性質來解決問題，既可以使學生加深對函數(shù)性質的理解，又能提高學生應用數(shù)學解決物理問題的能力。

例3 如圖4所示，電子在電勢差U1的加速電場中由靜止開始運動，然后射入電勢差U2的兩塊平行極板間的電場中，入射方向跟極板平行，整個裝置處在真空中，重力可忽略，在滿足電子能射出平行板區(qū)的條件下，下述四種情況中，一定能使電子的偏轉角θ變大的是（ ）

A.U1變大，U2變大；

B.U1變小，U2變大；

C.U1變大，U2變小；

D.U1變小，U2變小。

分析 當電子加速后，進入水平放置的兩塊平行極板間受到電場力作用發(fā)生偏轉，只要建立一個θ跟U1、U2的函數(shù)表達式，通過討論函數(shù)的增減性，就可知道θ變大的原因。

解 設兩平行極板之間的距離為d，長度為L，電子在U1電場中加速后速度為12mv02=U1e

即v0=2U1em

電子從進入到射出平行極板所用時間為

t=Lv0=Lm2U1e

加速度為a，由U2de=ma，得a=U2emd

剛射出平行極板時，跟電場方向平行的速度大小為

v1=at=LU2emdm2U1e

偏轉角度為θ，有tanθ=v1v0=LU22U1d，

這是一個tanθ跟U1、U2的函數(shù)表達式。

討論 根據(jù)物理條件0°≤θ≤90°，

當U1不變時，上式為增函數(shù)，故U2增大時，tanθ增大，θ也增大；

當U2不變時，上式是減函數(shù)，則U1增大時，tanθ減小，θ也減小。

顯然B為正確答案。

例4 如圖5所示，光滑斜面與水平面夾角是α。在斜面上放一個質量為m圓球，再用光滑平板A擋住?，F(xiàn)在緩慢地改變板A與斜面的夾角θ，當θ=____時，A板對球的作用力最小，最小力為____。

分析 如圖5可知圓球受到三個力作用，重力mg，斜面對它的支持力N1，擋板對它的壓力N2。以豎直方向為縱坐標軸，水平方向為橫坐標軸，原點在球心，建立直角坐標系。分別將N1、N2分解在x軸、y軸上，根據(jù)平衡條件，確定N2跟θ的函數(shù)表達式，通過求函數(shù)的最值來解決問題。

解 如圖知在x軸上

N1sinα=N2sin(α+θ)（1）

在y軸上

N1cosα=mg+N2cos(α+θ)（2）

由（1）、（2）得

N2=mgctgαsin(α+θ)-cos(α+θ)

=mgsinαsinθ

由于mgsinα為恒量，這是一個N2跟θ的函數(shù)關系式。根據(jù)物理條件α＜θ＜180°，當θ=90°時，sinθ 的最大值為1，故N2有最小值mgsinα。

即當θ=90°時，A板對球的作用力最小，最小力為mgsinα。

在解決物理問題的過程中，簡單機械地套用數(shù)學工具，有時無助于問題的解決，若能以數(shù)學思想來看待這些問題，不但能靈活解決問題，而且能開闊學生的解題視野，這對培養(yǎng)學生能力的積極意義是不言而喻的。

(欄目編輯趙保鋼)

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