楊玉波， 王秀和， 朱常青

(山東大學(xué)電氣工程學(xué)院，山東濟南250061)

0 引言

隨著高性能永磁材料的出現(xiàn)和現(xiàn)代電機控制技術(shù)的發(fā)展，永磁電機以其高效率、高功率密度等優(yōu)勢得到越來越廣泛的應(yīng)用。但是永磁電機中，永磁體和有槽電樞相互作用，引起電機內(nèi)磁場能能量的變化，產(chǎn)生齒槽轉(zhuǎn)矩、振動和噪聲，影響系統(tǒng)的控制精確度，因此關(guān)于齒槽轉(zhuǎn)矩的產(chǎn)生機理、計算方法和削弱措施一直是中外學(xué)者的研究熱點。目前對于齒槽轉(zhuǎn)矩的分析計算方法一般有兩種，解析法和有限元法。解析法難以考慮飽和、漏磁以及復(fù)雜結(jié)構(gòu)等因素，影響了其計算的準(zhǔn)確性，但是解析法能夠揭示結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化對齒槽轉(zhuǎn)矩的影響，能夠得到指導(dǎo)性的規(guī)律［1－2］，因此得到了廣泛的應(yīng)用［3－7］。有限元法能夠考慮漏磁、飽和以及復(fù)雜結(jié)構(gòu)的影響，可準(zhǔn)確計算齒槽轉(zhuǎn)矩。但是采用有限元法時，必須計算至少一個齒槽轉(zhuǎn)矩周期，為了保證計算的精確度，必須保證足夠小的步長，并且研究結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對齒槽轉(zhuǎn)矩的影響時，需不斷重復(fù)整個計算過程，耗時較長，并且計算結(jié)果只針對特定模型，很難得到具有指導(dǎo)性的規(guī)律［1］。

由于效率高、能量密度高，內(nèi)置式永磁同步電動機在控制系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用。由于內(nèi)置式永磁電機的有效氣隙小等因素的影響，齒槽轉(zhuǎn)矩的影響更大［1］。文獻［8－13］中研究了極弧寬度、磁極形狀、極弧系數(shù)組合、轉(zhuǎn)子軸向分段等方法對內(nèi)置式永磁電機齒槽轉(zhuǎn)矩的影響。

本文研究槽口寬度對內(nèi)置式永磁電機齒槽轉(zhuǎn)矩的影響。槽口寬度的變化會引起氣隙磁導(dǎo)的變化，通過合理的選擇槽口寬度能夠削弱齒槽轉(zhuǎn)矩。文獻［14］中，作者采用解析法建立了表面式永磁電機的氣隙磁導(dǎo)模型，推導(dǎo)得到了削弱齒槽轉(zhuǎn)矩的槽口寬度確定方法，作者指出由于采用了簡化模型，解析計算的槽口寬度并不能削弱齒槽轉(zhuǎn)矩，提出的解析法實用價值不大。文獻［15］中，作者推導(dǎo)了相對氣隙磁導(dǎo)的解析表達式，得到了氣隙磁場的表達式。文獻［16］中作者建立了氣隙磁場的一維解析模型和氣隙磁導(dǎo)的表達式，得到了對齒槽轉(zhuǎn)矩有影響的氣隙磁導(dǎo)的傅里葉分解系數(shù)，得出了槽口寬度計算方法。

現(xiàn)有的槽口寬度對齒槽轉(zhuǎn)矩影響的研究主要針對表面式結(jié)構(gòu)，采用解析法，但是解析法的難點在于難以準(zhǔn)確的確定有效氣隙長度。有限元法能夠準(zhǔn)確的計算齒槽轉(zhuǎn)矩的大小，但是對于不同槽口寬度，需建立不同的模型，對于每個模型需要計算足夠多的點，計算量非常大。為了兼顧準(zhǔn)確性和計算量，本文將解析法與有限元法相結(jié)合，采用解析法確定對齒槽轉(zhuǎn)矩有影響的氣隙磁導(dǎo)平方的傅里葉分解次數(shù)，采用有限元法計算該傅里葉分解次數(shù)，進而確定了最佳槽口寬度。

1 齒槽轉(zhuǎn)矩解析表達式

齒槽轉(zhuǎn)矩可以表示為電機內(nèi)的磁場能量W相對于位置角α的導(dǎo)數(shù)，假設(shè)鐵心的磁導(dǎo)率無窮大，

電機內(nèi)的磁場能量可近似為永磁體與氣隙內(nèi)磁場能量之和?；谙鄬庀洞艑?dǎo)和氣隙磁密平方的傅里葉變換，可推導(dǎo)得到齒槽轉(zhuǎn)矩的解析表達式［7］為

式中:z為定子槽數(shù);LFe為電機軸向長度;R1和R2為氣隙的內(nèi)半徑和外半徑;μ0為真空磁導(dǎo)率;GnNp為相對氣隙磁導(dǎo)平方的傅里葉分解系數(shù);Br(nNpz/2p)為永磁體產(chǎn)生的氣隙磁密平方的傅里葉分解系數(shù)，Np可表示為

其中:p為極對數(shù);h為最大公約數(shù)。

氣隙相對磁導(dǎo)的平方和氣隙磁密平方的特定的傅里葉分解系數(shù)對齒槽轉(zhuǎn)矩有重要影響，因此齒槽轉(zhuǎn)矩的削弱措施主要分為兩類，一類是通過改變永磁體的氣隙磁密，削弱對齒槽轉(zhuǎn)矩有影響的傅里葉分解次數(shù)Br(nNpz/2p)，一類為改變相對氣隙磁導(dǎo)，削弱傅里葉分解次數(shù)GnNp，通過改變槽口寬度削弱齒槽轉(zhuǎn)矩的方法屬于第二類。對于氣隙相對磁導(dǎo)的平方的傅里葉分解系數(shù)中，只有nNp次對齒槽轉(zhuǎn)矩有影響。槽口寬度的變化導(dǎo)致了氣隙相對磁導(dǎo)的變化，進而影響了齒槽轉(zhuǎn)矩的大小。因此，為了研究槽口寬度的變化對齒槽轉(zhuǎn)矩的影響，可簡化為研究其對GnNp的影響，可進一步簡化為對最低次諧波 GNp的影響。

2 基于有限元的GNp計算

目前采用解析法分析相對氣隙磁導(dǎo)的方法中，一般對有效氣隙長度進行簡化，很難得到準(zhǔn)確的槽口寬度確定方法［14－16］，本文采用有限元法計算。氣隙磁密［15］可表示為

式中:Λ(φ)為氣隙相對磁導(dǎo)率;F(θ，φ，z)為氣隙磁壓降。對于內(nèi)置式永磁同步電動機，每極中心位置處，氣隙磁壓降為常值，因此槽口寬度對氣隙磁密的影響可以體現(xiàn)其對相對氣隙磁導(dǎo)的影響。本文采用有限元法計算不同槽口寬度時，氣隙中心線處的氣隙磁密，對其平方后傅里葉分解，即可得到槽口寬度變化對GNp的影響。本文采用兩種內(nèi)置式結(jié)構(gòu)永磁同步電動機為例，說明槽口寬度的確定方法，樣機模型結(jié)構(gòu)如圖1所示，分別為4極9槽和4極15槽結(jié)構(gòu)。兩模型共同的參數(shù)為:電機極數(shù)為4極，電樞槽數(shù)為9/15槽，定子外徑為100 mm，定子內(nèi)徑為52 mm，轉(zhuǎn)子內(nèi)徑為20 mm，轉(zhuǎn)子外徑為51 mm，氣隙長度為0.5 mm，鐵心軸向長度為50 mm，永磁體剩磁為0.95 T，矯頑力為764 kA/m。

圖2為有限元計算模型，磁極中心線與槽中心線對齊，只需計算位于磁極中心位置處一個齒距的氣隙中心線的氣隙磁密。圖3為計算得到的一個齒距內(nèi)的氣隙磁密的分布。

圖4為4極9槽內(nèi)置式永磁電機(Np=4)G4和齒槽轉(zhuǎn)矩幅值隨槽口寬度的變化曲線，其中槽口寬度與齒距的比值ν為

式中:bo為槽口寬度;τp為齒距。

圖4 齒槽轉(zhuǎn)矩幅值與G4隨槽口寬度變化曲線(4極9槽)Fig．4 The amplitude of cogging torque and G4 with slot-opening(4-pole 9-slot IPM)

可見G4和齒槽轉(zhuǎn)矩幅值隨槽口寬度的變化有完全相同的變化規(guī)律，能夠使得G4減小的槽口寬度同樣能使齒槽轉(zhuǎn)矩的幅值減小。對于4極9槽電機，槽口寬度與齒距之比ν=0.28時，G4和齒槽轉(zhuǎn)矩的值都很小。不同ν值時的齒槽轉(zhuǎn)矩對比如圖5所示。

圖5 不同槽口寬度齒槽轉(zhuǎn)矩的對比(4極9槽)Fig．5 The comparison of cogging torque with different slot-opening(4-pole 9-slot IPM)

圖6為4極15槽內(nèi)置式永磁電機(Np=4)不同槽口寬度時，G4和齒槽轉(zhuǎn)矩幅值的變化規(guī)律，可見G4與齒槽轉(zhuǎn)矩幅值隨ν有相同的變化規(guī)律，兩者在ν=0.275時都取得最小值。不同ν值時，齒槽轉(zhuǎn)矩的對比如圖7所示。

表1為本文計算結(jié)果與文獻［14］中解析計算結(jié)果的對比，其削弱效果在圖4和圖6中有對比，本文得到的槽口寬度效果更好。對于4極9槽和4極15槽電機，雖然對齒槽轉(zhuǎn)矩有影響的氣隙磁導(dǎo)平方的傅里葉分解次數(shù)都為G4，得到的最佳槽口寬度與齒距之比并不完全相同。

以上對比表明，為得到槽口寬度變化對內(nèi)置式永磁電機齒槽轉(zhuǎn)矩的影響，可采用有限元法計算得到不同槽口寬度時的氣隙磁密，得到槽口寬度變化對GNp的影響，能夠削弱GNp的槽口寬度可削弱齒槽轉(zhuǎn)矩。

表1 解析法與有限元法確定的槽口寬度對比Table 1 The comparison of slot opening calculated by analytical method and finite element method

3 槽口寬度對電機性能的影響

為了對比槽口寬度變化對電機性能的影響，采用有限元法計算了4極9槽內(nèi)置式永磁電機不同槽口寬度時，相繞組的反電動勢、同步電抗以及電磁轉(zhuǎn)矩。相繞組總串聯(lián)匝數(shù)為36匝，電機轉(zhuǎn)速為1 000 r/min，圖8為相電動勢的基波和諧波的對比?？梢?，隨著槽口寬度的增加，相電動勢基波幅值略有減小，槽口寬度與齒距比值ν從0.2增加到0.325，相電動勢的幅值減小2.76%，其3次和5次諧波的變化很小。表2為電樞電流21A時，不同槽口寬度時的鐵耗、交直軸同步電抗和電磁轉(zhuǎn)矩的計算結(jié)果，可見，由于電機轉(zhuǎn)速較慢，槽口寬度的變化對鐵耗的影響較小。隨著槽口寬度的增大，齒部漏磁減小，交軸飽和加重，交軸同步電抗會減小。

圖8 相電動勢的基波和諧波對比Fig．8 The comparison of harmonics of phase EMF

表2 槽口寬度對性能影響Table 2 The effect of slot-opening on the performance of permanent magnet synchronous motor

4 結(jié)語

本文采用解析法和有限元法結(jié)合計算了槽口寬度對內(nèi)置式永磁電機齒槽轉(zhuǎn)矩的影響。采用解析法確定了對齒槽轉(zhuǎn)矩有影響的氣隙磁導(dǎo)平方的傅里葉分解次數(shù)，采用有限元法計算這些傅里葉分解次數(shù)的值，并將不同槽口寬度時的這些傅里葉分解次數(shù)與齒槽轉(zhuǎn)矩的幅值進行了對比，兩者隨槽口寬度有相同的變化規(guī)律。最后，以兩種內(nèi)置式結(jié)構(gòu)永磁電機為例，采用有限元法對進行了驗證，計算結(jié)果表明，齒槽轉(zhuǎn)矩的幅值和傅里葉分解次數(shù)有相同的變化規(guī)律，驗證了本文結(jié)論的正確性。對反電動勢、鐵耗、交直軸同步電抗和電磁轉(zhuǎn)矩的計算表明，槽口寬度對其影響不大。

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