楊東全，彭 紅

(海南大學土木建筑工程學院，海南?？?570228)

土木工程類研究生課程《彈性力學》的教學改革嘗試

楊東全，彭 紅

(海南大學土木建筑工程學院，海南?？?570228)

彈性力學是土木工程專業(yè)的專業(yè)基礎課之一，為了適應現(xiàn)代土木工程專業(yè)研究生的專業(yè)教育，有必要對傳統(tǒng)的彈性力學的教學內(nèi)容、教學方法和教材使用等方面進行改革.本文主要從彈性力學課程的教學內(nèi)容改革方面進行探討，旨在提高研究生彈性力學課程的教學效果.

彈性力學;教材建設;教學改革

彈性力學是研究彈性體變形規(guī)律的一門學科，是土木、機械、航天、水利等工科類專業(yè)的專業(yè)基礎課，是開展有關研究的重要理論基礎［1］.目前，彈性力學的教學仍以傳統(tǒng)的教學內(nèi)容為主，采用的教材仍是以傳統(tǒng)的經(jīng)典教材內(nèi)容為框架.這些教材反映了上世紀初期以前彈性理論的主要內(nèi)容，主要以線彈性問題的建立和求解為主［2－5］.由于當時的計算手段不夠，彈性力學的研究主要以小變形情況下線彈性理論的建立和相關解析解的求解為主，相應的教學內(nèi)容也側(cè)重于理論推導.上世紀五六十年代以前，彈性理論的發(fā)展轉(zhuǎn)向非線性問題的理論和求解方法［1］.近些年來，彈性理論得到了更大的發(fā)展.尤其是隨著計算技術的發(fā)展，各類計算機程序尤其是有限元商業(yè)程序的開發(fā)和廣泛使用，如Ansys，Abaqus，LS-DYNA，NASTRAN等，過去無法求解的很多彈性力學問題現(xiàn)在都已經(jīng)可以比較快速地得到解答.但彈性力學教材和教學內(nèi)容并沒有相應地改變，仍以傳統(tǒng)的線彈性理論和解析解的求解為主.這樣就會出現(xiàn)一些問題.例如，盡管很多學生和工程師可以應用有限元軟件得到一些解答，但由于彈性力學問題本身的復雜性，需要對彈性理論本身有足夠深刻的理解，才能利用有限元軟件得到正確的解答.如果對彈性理論的理解不夠深刻和全面，濫用有限元軟件就會得到不合實際的解答，這種現(xiàn)象廣泛存在于教學和實際的科研工作中.為了改善這種情況，有必要對傳統(tǒng)的適于以手算等初等手段為計算方法的經(jīng)典彈性力學進行一些教學改革.例如，強化學生對彈性力學基本理論的理解，但減少在解析解方面所花的篇幅和時間.另一方面，土木工程類的研究生在本科階段一般都學習過彈性力學的基本內(nèi)容，從科學研究和實際工程應用的角度出發(fā)，研究生的彈性力學教學應該從更高的層次和更廣的內(nèi)容上進行教學.目前這方面的探討不多.總之，如何設置當今研究生的彈性力學的課程教學，講解哪些內(nèi)容，深度到什么程度，這是一個值得探討的問題.

1 土木工程專業(yè)本科階段的彈性力學教學概述

彈性力學是土木工程類本科專業(yè)的專業(yè)基礎課，目前在我國高校本科階段的彈性力學主流教材是徐芝綸等編著的《彈性力學》［6］、《彈性力學簡明教程》［7］等.其主要內(nèi)容包括彈性力學的基本概念和基本假設、平面問題的基本理論、直角坐標解法和極坐標解法、空間問題的基本理論和解答、薄板彎曲問題以及差分法、變分法和有限元法簡介等.這些內(nèi)容對土木工程類的本科生是適應的，為本科生后續(xù)專業(yè)課的學習建立了必要的力學基礎.

2 當前土木工程類專業(yè)研究生彈性力學常用教材中存在的問題

彈性力學作為土木類研究生的重要理論基礎課程，不能是本科同一課程的簡單重復，所教授的內(nèi)容應該是本科階段的提高和加強.目前，國內(nèi)高校所采用的彈性力學教材不太適合土木工程專業(yè)研究生的教學，主要體現(xiàn)在以下幾方面:(1)以徐芝綸編著的《彈性力學》［6］為代表的彈性力學教材，一般都不采用張量表述，這不利于土木類研究生以后的研究工作，也不符合現(xiàn)代的彈性力學教學潮流.當前土木工程的專業(yè)文獻幾乎都是以張量符號進行理論描述，所以應增加張量基本理論的教學內(nèi)容，使研究生盡快適應這種描述方式.(2)以杜慶華等編著的《彈性理論》［4］等為代表的彈性力學教材偏重于力學理論，它適合力學系的研究生，但對土木類的研究生則有一定的困難.(3)目前的彈性力學教材花了比較大的篇幅來闡述解析解的推導，如開爾文解、布斯涅克解等三維解析解、平面問題的各解析解、厚壁圓筒和旋轉(zhuǎn)圓盤的解析求解過程等.實際上，這些經(jīng)典的解析解數(shù)量并不多，而且都可以從相關的力學手冊中查到.除了少數(shù)特定的需要，一般學生沒有太大的必要重復這些解的求解過程，從而擺脫繁雜的推導過程，這樣就可以把教學重點放在如何能快速有效地查找到這些經(jīng)典的解析解，并使學生了解這些解析解的具體應用.換言之，土木類研究生只需要了解各類解析解的來源，重點則應放在具體應用上.(4)有限變形等非線性分析在土木工程中的應用越來越廣泛，如極限載荷分析、結(jié)構(gòu)的大變形分析、連續(xù)倒塌問題等.但目前的彈性力學教材很少介紹這方面的內(nèi)容，如變形的歐拉描述和拉格朗日描述、格林應變和阿爾曼西應變、柯西應力和Piola-Kichhoff應力、有限變形下的平衡方程和本構(gòu)關系［8－9］等.而這些內(nèi)容是有限變形有限元分析的必備理論基礎，應該予以介紹.(5)彈性理論作為一門理論基礎課，其主要目的之一是為有限元等數(shù)值解法提供理論基礎，所以變分理論是非常重要的一部分內(nèi)容，而且應該強調(diào)各類變分原理和各種有限元解法之間的關系.變分理論基于泛函的極值分析，一般的教科書對泛函和變分概念的介紹不夠，往往造成很多學生學完了彈性力學后，卻對變分和泛函的概念都不清楚，這種情況不利于以后研究工作的開展.

3 適于工科類研究生的彈性力學教學內(nèi)容探討

基于以上考慮，研究生的彈性力學課程需要增加彈性理論基礎知識方面的內(nèi)容，尤其是應增加一部分連續(xù)介質(zhì)力學的基礎知識和張量分析的初步知識，這不僅可為有限元軟件的使用打下比較堅實的基礎，而且還能為以后的科研工作打下比較扎實的理論基礎.另一方面，對一些略顯過時的知識點，如復變函數(shù)解法、級數(shù)解法等可以少講，甚至不講.對于一些彈性力學解析解的具體推導過程和準備知識，可以少講一些，重點則放在這些解的具體應用上.基于以上考慮，結(jié)合多年的教學實踐，筆者認為研究生彈性力學的教學應主要包括以下內(nèi)容:(1)張量的基本概念和笛卡爾張量分析初步介紹;(2)有限變形分析初步和小變形簡化分析;(3)柯西應力分析及小變形情況的平衡方程描述，有限變形情況下的各種應力定義及平衡方程描述;(4)本構(gòu)理論簡介，線彈性本構(gòu)方程的張量表示，有限變形下的本構(gòu)方程簡介;(5)線彈性力學基本方程的張量描述及線彈性體的基本原理;(6)空間問題、接觸問題、平面問題及厚壁圓筒等彈性問題的解析解介紹;(7)彈性理論的變分原理及其與有限元分析的聯(lián)系等.所用教材應采用坐標分量形式表述與張量表述相結(jié)合的方式，這一方面有利于學生的接受，更重要的是可為他們以后的研究工作打下基礎.在教學過程中，應注重基本概念和基本控制方程的介紹;注重利用互聯(lián)網(wǎng)、力學手冊等有效地查找到經(jīng)典的解析解，了解其歷史和來源，但簡化甚至不講解其復雜的數(shù)學推導，并通過實例講解一些解析解的具體應用;強調(diào)彈性力學是有限元等數(shù)值分析的理論基礎，并舉例說明應用有限元軟件進行求解時應注意的力學問題，培養(yǎng)研究生解決實際問題的能力.

筆者在具體的教學過程中，結(jié)合國外一些著名大學的教學實踐，采用自編教程進行教學，取得了一定的教學效果.下面是教學過程中所采用的具體教學內(nèi)容:

1)張量的基本概念和笛卡爾張量分析初步介紹:從國內(nèi)外有關張量分析和彈性力學的專著和教科書［1，4，8］中精選有關內(nèi)容，使研究生能在有限的學時(6～9個學時)內(nèi)掌握張量分析的基本概念和笛卡爾張量的演算技能，能基本看懂彈性力學有關公式的張量符號表述，從而為以后的學習和研究工作打下基本的力學基礎.

2)Chaucy應力分析:采用笛卡爾張量符號描述柯西應力、應力邊界條件和平衡微分方程.應力分析部分中，主應力和主方向可以從直接求解應力矩陣的特征值和特征向量得到，因為利用計算機軟件，如MATLAB等很容易就可以得到這些解.

3)有限變形簡介、小變形應變分析及有限變形的應力描述:從有限變形的歐拉描述和拉格朗日描述概念開始，建立構(gòu)形和變形的概念;由變形梯度張量及極分解建立格林－拉格朗日應變和阿爾曼西應變;在小變形情況下建立工程應變的概念;建立在有限變形下相對于初始構(gòu)形的Piola-Kichhoff應力及其與Chaucy應力的關系，并建立有限變形下的平衡微分方程［8－9］.這一部分是連續(xù)介質(zhì)力學的基本內(nèi)容，一般相關著作中的描述都比較晦澀難懂，而且往往又分散于不同的章節(jié)，但它又是有限變形分析所必不可少的.在教學過程中，不失一般性的前提下，應盡量做到深入淺出，讓學生既能理解有限變形理論，又不陷于冗長的數(shù)學推導，著重有限變形概念的建立.

4)本構(gòu)理論簡介及線彈性本構(gòu)方程的張量表示:現(xiàn)代本構(gòu)方程理論簡介;從熱力學基本定理出發(fā)，建立線彈性體的本構(gòu)方程，并討論各向同性彈性體彈性系數(shù)的簡化;各向同性彈性體胡克定律的張量表述;簡單介紹了大變形小應變情況下的彈性本構(gòu)關系，這對于理解彈性體的大變形求解方法非常有幫助.

5)線彈性力學基本方程及基本原理:綜合考慮線彈性體的應力、應變、本構(gòu)關系及邊界條件和初始條件，建立彈性力學基本方程位移解法和應力解法的張量形式;討論疊加原理和解的惟一性原理及圣維南原理;討論平面應力問題和平面應變問題的定義及相應的彈性力學基本方程.這一部分內(nèi)容對研究生以后的研究工作非常重要，應重點講述，尤其是彈性力學基本方程的張量描述方式.

6)彈性問題求解的逆解法、半逆解法及解析解的運用:典型三維彈性力學問題及接觸問題的解析解介紹及其應用;柱形桿扭轉(zhuǎn)的基本理論及解析解介紹;平面問題解析解的求法及查找方法.在教學過程中，不局限于具體推導過程，而注重其推導思路及具體應用、查找和驗證.適當介紹常用的力學手冊等資源，同時介紹這些解的具體應用.如布斯涅克解被直接用于土力學中地基沉降量的計算，混凝土劈裂實驗中的拉應力強度計算公式來源于平面問題中楔體的解析解等.這樣能使學生增加學習的動力和興趣，提高教學效果.

7)彈性理論的變分原理:介紹變形體的虛功原理;介紹泛函及變分的基本概念和泛函極值問題的數(shù)學提法;介紹彈性理論常用的幾類變分原理及廣義變分原理.

8)彈塑性理論的數(shù)值解及通用有限元分析軟件介紹和初步應用:介紹李茲法及有限元分析的基本概念;介紹通用有限元分析程序Ansys或Abaqus;舉例說明彈性力學問題的有限元求解方法及分析技術.

4 結(jié)論

本文討論了土木等工科類研究生用彈性力學教材和教學過程中的一些問題，探討了適合現(xiàn)代土木類研究生用的彈性力學教材應包括的教學內(nèi)容.在教學實踐中，筆者把這些想法應用于實際的教學過程，并取得了一些教學效果，希望這些嘗試能為我國彈性力學的教學改革工作有所幫助.

［1］杜慶華.工程力學手冊［M］.北京:高等教育出版社，1994.

［2］謝貽權(quán)，林鐘祥，丁皓江.彈性力學［M］.杭州:浙江大學出版社，1988.

［3］錢偉長，葉開源.彈性力學［M］.北京:科學出版社，1956.

［4］杜慶華.彈性理論［M］.北京:教育科學出版社，1986.

［5］TIMOSHENKO S，GOODIER J N.Theory of Elasticity［M］.3rd ed.New York:McGraw-Hill，1970.

［6］徐芝綸.彈性力學(上，下冊)［M］.第3版.北京:高等教育出版社，1990.

［7］徐芝綸.彈性力學簡明教程［M］.第3版.北京:高等教育出版社，2001.

［8］GREEN A E，ZERNA W.Theoretical Elasticity［M］.2nd ed.Oxford University Press，1968.

［9］MALVERN L E.Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium［M］.New Jersey:Prentice Hall，1969.

Educational Reform Attempts of Theory of Elasticity for civil engineering graduates

YANG Dong-quan，PENG Hong

(School of Civil Engineering，Hainan University ，Haikou 570228，China)

Theory of Elasticityis one of the major foundational courses of civil engineering graduate education.In order to be more suitable for current civil engineering graduate education，it is necessary to make reform for traditional teaching content，teaching material and teaching methodology of this course.In the report，the teaching content reform of the course was discussed.

theory of elasticity;improvement of teaching material;educational reform

G 420 < class="emphasis_bold">文獻標志碼:A

A

1004－1729(2011)01－0095－04

2010－11－04

海南省自然科學基金資助(808100)

楊東全(1967－)，男，山東陽谷人，海南大學土木建筑工程學院教授，博士.