于 杰

(中國科學院長春光學精密機械與物理研究所,吉林長春 130032)

1 引 言

傳統(tǒng)的干涉條紋測量方法都是通過直接判斷干涉條紋或者確定其序號來計算被測量。由于受到條紋判斷準確性以及其他一些因素的影響,這種方法精度有限,不能滿足高精度光學檢測的要求。自從 1974年 Bruning提出移相干涉技術以來[1,2],移相干涉技術有了廣泛的應用。這種技術能夠減小噪聲的影響,在干涉條紋對比度不好的情況下也能獲得較好的結果,降低了光強分布不均勻?qū)y量精度的影響,避免了激光高斯分布帶來的影響。實現(xiàn)這種技術的關鍵之一是利用相位提取算法計算待測的相位分布[3]。

移相相位提取算法發(fā)展至今已有多種模式,標準移相算法要求移相量是一個已知量并且要求等間隔移相,這個要求一般很難滿足。為降低算法對移相方式的嚴格要求,Novak提出了幾種移相量為任意值的等間隔多步移相算法,并且通過理論分析和仿真實驗找到每一種算法的最佳移相量,當移相量為最佳移相量時相位誤差最小[4,5];Shouhong Tang提出了一種相移量為已知量的非等間隔五步移相算法[6];L.Z.Cai,Q.Liu和 X.L.Yang提出兩種任意隨機移相相位提取算法[7,8]。這些算法雖然對某種特定誤差有較強的抑制能力,但是對于其他的誤差抑制能力較弱,不能滿足超高精度面形檢測的要求。針對這一問題,本文引入一種權重待定的加權最小二乘算法。通過在最小二乘算法中添加待定的權重,分析移相干涉技術中多種誤差源對算法的影響,得到多組約束方程,通過求解約束方程確定權重從而確定算法。

2 權重待定最小二乘法算法設計

移相干涉測量時,測量光和參考光相干形成干涉場的光強分布可表示為[9]:

式中A(x,y)為背景光強,B(x,y)為調(diào)制光強,φ(x,y)為待求解的相位分布,它由待測光學波面面形決定,δn(x,y)為引入的相位差。通過微位移PZT控制系統(tǒng)移動待測鏡,在參考光和測試光之間引入相位差改變δn(x,y),獲得多組干涉圖以求解出 φ(x,y)。令:

式 (1)可化簡為:

求解得到系數(shù)Bsin(x,y)和Bcos(x,y),待求的相位分布可表示為:

設定In(x,y)代表實際采集的移相干涉圖,并假設每一幅干涉圖對應的權重為wn,誤差函數(shù)ε可表示為:

對等式 (5)分別求A,Bcos,Bsin這 3個參量的偏導數(shù),當 3個偏導數(shù)為零時誤差函數(shù)受這 3個

參量變化的影響最小[6],由此得到:

如果權重能滿足:

由式 (6)得到待測相位為:

當式 (8)中的權重取不同的值時,算法對于各項誤差的敏感程度不同,通過分析各種誤差的影響得到約束條件,可最終確定待定系數(shù)。影響相位提取算法的誤差主要包括 PZT移相不準,CCD的響應非線性和量化誤差,光源的不穩(wěn)定性和振動等等。

目前常用的相位提取算法是標準四步算法和Hariharan五步算法[10],其優(yōu)點是對一些系統(tǒng)誤差敏感度小,并且由于采集的干涉圖比較少,數(shù)據(jù)采集時間短,后期的數(shù)據(jù)處理也相對簡單。

標準四步算法和 Hariharan五步算法的表達式分別為:

2.1 PZT移相不準

在移相干涉技術中,移相不準是主要的誤差源之一[11],它是由移相器本身的缺陷造成的。移相不準分為線性移相不準和非線性移相不準,前者是移相器標定后的殘余線性誤差,后者是由于PZT本身的非線性造成的。當存在線性和二階非線性移相不準時,實際移相量可用理想移相量的多項式表示。實際移相量與移相不準Δ δn可表示為:

僅僅存在移相不準時,可得到相位誤差Δφ:

要實現(xiàn)算法對 PZT的移相不準不敏感,需要滿足約束條件:

2.2 CCD響應非線性

在探測器獲取干涉圖的過程中存在非線性響應誤差,這種誤差是由于探測器的輸出信號與入射的干涉圖光強信號之間的響應非線性引起的。由于移相算法提取相位時,每個像素點的相位提取與其他點無關,所以對 CCD響應非均勻性的要求不高[12]。當僅僅存在二階非線性響應誤差時,探測器輸出的干涉圖信號與干涉圖光強信號之間的關系以及響應ΔIn偏差可表示為[13]:

僅僅存在 CCD的二階響應非線性時,可得到相位誤差Δφ:

要實現(xiàn)算法對探測器的二階非線性誤差不敏感,需要滿足的約束條件如下:

2.3 光源的不穩(wěn)定性

光源的不穩(wěn)定性可分為光強不穩(wěn)定性和頻率不穩(wěn)定性。前者使得干涉圖的背景光強和調(diào)制光強發(fā)生變化;后者引入額外相位差,造成移相不準。

2.3.1 光源的光強不穩(wěn)定

光強不穩(wěn)定性包括短周期的光強噪聲和長周期的光強波動。當存在光強的長期波動時,干涉圖可以用幀數(shù)的多項式表示,因此第n幀干涉圖以及探測器輸出的干涉圖信號與理想干涉圖光強信號之間的偏差可分別表示為[13]:

僅僅存在光強波動時,可得到相位誤差Δφ為:

要實現(xiàn)算法對光源的一階和二階光強波動不敏感,需要滿足如下一組約束條件

當存在光強的短期噪聲αn時,干涉圖可以表示為:

同樣處理,要實現(xiàn)算法對光源的一階和二階光強波動不敏感,需要滿足一組約束條件:

由于αn為一個隨機量,式 (23)不能在αn為任意值時都滿足。

2.3.2 光源的頻率不穩(wěn)定

激光器的頻率不穩(wěn)定性可分為長期的頻率波動和短期的頻率噪聲。由頻率與波長之間的相互關系可知,不同時刻激光器的中心波長不同,這樣會改變干涉圖的相位,從而造成了一種移相不準。當僅僅存在激光器的頻率波動時,引入的額外相位差為:

這種移相不準與激光器的頻率波動大小成正比。當僅僅存在長期波動時,頻率可用幀數(shù)的多項式表示為:

上式與前面的 PZT的線性和非線性移相不 準形式一致,為了消除光源頻率的一階和二階波動,需要滿足式 (12)。

當僅僅存在光源頻率的短期噪聲時,相位提取誤差可表示為:

要實現(xiàn)算法對頻率噪聲不敏感,需要滿足如下約束條件:

由于 Δ δn為一個隨機量 ,式 (23)不能在 Δ δn為任意值時都滿足。

2.4 加權最小二乘算法獲取

綜合考慮上面 2.1,2.2和 2.3節(jié)中的分析,要使得算法對 PZT的移相不準、CCD的二階響應非線性和光源的不穩(wěn)定性不敏感,需要滿足如下條件:

為方便分析,設定權重為正實數(shù)且對稱分布,對于移相量為π/2的等間隔多步移相,上述方程組共有 12個方程,假設移相步數(shù)為 13,求解方程組獲得權重如下:

3 對比仿真

仿真生成待測面形和干涉圖分別如圖1(a)和圖1(b)所示,待測面形 PV=4.705 nm;RMS=1.007 nm。下面分別對 PZT的移相不準、CCD的二階響應非線性和光源的不穩(wěn)定性做比對分析。

圖1 仿真圖Fig.1 Simulating pictures

3.1 PZT移相不準對比仿真

當存在 PZT的移相不準時,對比仿真結果如圖2所示。圖2中的誤差為與相位提取誤差值對應的面形檢測誤差值,下面仿真中的誤差值也是如此。

圖2 移相不準引起的檢測誤差Fig.2 Testing errors due to phase-shifting errors

圖2(a)和圖2(b)分別為線性移相不準從0%變化到 10%時的面形檢測誤差 PV曲線和RMS曲線;圖2(c)和圖2(d)分別為線性和二階非線性移相不準從 0%變化到 10%時的處理誤差PV曲線和 RMS曲線。明顯新算法抑制 PZT的線性和二階非線性移相不準誤差的能力遠遠優(yōu)于其他兩種算法。

3.2 CCD響應非線性和量化誤差對比仿真

當存在 CCD的二階響應非線性,對比仿真結果如圖3所示,圖3(a)和圖3(b)分別為 CCD二階響應非線性從 0%變化到 10%時的面形檢測誤差 PV曲線和 RMS曲線。明顯三種算法對于CCD的二階響應非線性完全不敏感。

圖3 CCD的二階響應非線性引入的檢測誤差Fig.3 Testing errors due to CCD nonlinearity of 2nd order

根據(jù) C.P.Brophy的研究結果[14],當干涉條紋的對比度分別為 0.8和 1時,面形檢測誤差與量化深度之間的曲線如圖4所示。圖4中新算法對探測器的量化誤差抑制能力比四步算法、五步算法更強。

圖4 CCD量化誤差引入的檢測誤差Fig.4 Testing errors due to CCD quantization

3.3 光源不穩(wěn)定性對比仿真

當存在光源的光強不穩(wěn)定性時,對比仿真結果如圖5所示。圖5(a)和圖5(b)分別為光源的功率波動幅度從 0.5%變化到 50%時的面形檢測誤差 PV曲線和 RMS曲線;圖5(c)和圖5(d)分別為光源的長期功率波動的幅度為 5%,短期功率噪聲幅度為 ±2%時的面形檢測誤差 PV曲線和 RMS曲線。明顯新算法抑制光源的一階二階光強波動影響的能力遠遠優(yōu)于其他兩種算法。從圖5中可得,新算法對于光強噪聲的抑制能力也優(yōu)于其他兩種算法。

圖5 光強不穩(wěn)定性引起的檢測誤差Fig.5 Testing errors due to intensity instability

當存在光源的頻率不穩(wěn)定性時,對比仿真結果如圖6所示。圖6(a)和圖6(b)分別為頻率波動從 ±0.1 MHz變化到 ±10 MHz時的面形檢測誤差 PV曲線和 RMS曲線;圖6(c)和圖6(d)分別為頻率噪聲大小為 ±2 MHz,頻率波動從±0.1 MHz變化到 ±10 MHz時的面形檢測誤差PV曲線和 RMS曲線。圖6中可得,新算法抑制光源的一階二階頻率波動影響的能力遠遠優(yōu)于其他兩種算法。新算法對于頻率噪聲的抑制能力也優(yōu)于其他兩種算法。

圖6 頻率不穩(wěn)定性引入的檢測誤差Fig.6 Testing errors due to frequency instability

4 結 論

本文首先利用權重待定的方法,通過分析多種誤差對等間隔多步移相算法的影響得到多組約束條件,聯(lián)立多組約束條件進而確定權重,從而得到對多種誤差不敏感的新算法。其次,利用新算法、四步算法以及 Hariharan五步算法進行比對仿真。仿真結果驗證了新算法抑制 PZT線性和二階非線性移相不準、光強的一階和二階波動、光源頻率的一階和二階波動等誤差的能力遠遠優(yōu)于四步算法和 Hariharan五步算法。同時,新算法抑制 CCD的量化誤差、光強噪聲、光源頻率噪聲的能力也要優(yōu)于其他兩種算法,且新算法與其他兩種算法對于 CCD的二階響應非線性完全不敏感。結果顯示,新算法能滿足檢測精度達到 0.1 nm的超高精度面形檢測的要求。

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