霍瑞麗

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，重慶 400047)

1 基本概念

定義1［1］設(shè)(X，Γ)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，x∈X，如果U是X的一個(gè)子集，滿足條件:存在一個(gè)開(kāi)集V∈Γ，使得x∈V?U，則稱(chēng)U是點(diǎn)x的一個(gè)鄰域.點(diǎn)x的所有鄰域構(gòu)成的X的子集族稱(chēng)為點(diǎn)x的鄰域系.

定義2［2］設(shè)f:X→X是集合X到自身的一個(gè)映射，記fn(x)=f°fn-1(x)，f0(x)=x，n為正整數(shù)，稱(chēng)fn(x)為f(x)的n次迭代，并稱(chēng)n為fn關(guān)于f的迭代指數(shù).

從定義2可見(jiàn)，f0=id，fm°fn=fm+n，其中id表示恒同映射.映射的迭代構(gòu)成了一個(gè)半群.如果f是拓?fù)淇臻gX的連續(xù)映射，其迭代構(gòu)成了一個(gè)離散半動(dòng)力系統(tǒng){fn:n∈Z+}.如果f在X上同胚，其迭代構(gòu)成了一個(gè)離散動(dòng)力系統(tǒng){fn:n∈Z}，兩者都簡(jiǎn)記為(X，f).

定義3［3］設(shè)(X，f)是離散動(dòng)力系統(tǒng)，x∈X，通過(guò)x軌道的 ω-極限集和 α-極限集分別定義如下:(x)={y∈+ ∞ ，使(x)→y};αf(x)={y∈+∞ ，使f-nj(x)→y}.其中，nj↗ +∞ 表示nj嚴(yán)格遞增.當(dāng)(X，f)是離散半動(dòng)力系統(tǒng)時(shí)，只有ω-極限集.

定義4［2］設(shè)(X，f)是離散動(dòng)力系統(tǒng)，x∈X，若存在自然數(shù)p，使得fp(x)=x，則稱(chēng)x是f的周期點(diǎn).滿足這一關(guān)系的最小自然數(shù)p稱(chēng)為x的周期.周期為1時(shí)，稱(chēng)x是f的不動(dòng)點(diǎn).用Perf(x)(x)((x))分別表示過(guò)x的周期軌道，周期軌道的正(負(fù))半軌道.顯然，Perf(x)=(x)∪(x)，當(dāng)(X，f)是離散半動(dòng)力系統(tǒng)時(shí)，周期軌道只有正半軌道，此時(shí)Perf(x)=(x).

定義5［2］設(shè)(X，f)是離散動(dòng)力系統(tǒng)，點(diǎn)x∈X稱(chēng)為是f的游蕩點(diǎn).如果存在x的鄰域U，使得fk(U)∩U=?，?k∈Z{}