趙知勁，鄭曉華，趙治棟

（杭州電子科技大學(xué) 通信工程學(xué)院，浙江 杭州 310018）

Volterra級數(shù)模型是非線性系統(tǒng)的一種輸入輸出模型，是線性系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)模型對非線性系統(tǒng)的擴展?；诮財嗟腣olterra級數(shù)模型的非線性自適應(yīng)濾波，在處理非線性問題時，性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的線性濾波技術(shù)，近年來受到越來越多的關(guān)注，如有源噪聲控制[1]、回聲抵消[2]等。高階的Volterra濾波器結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜，實現(xiàn)起來相當(dāng)?shù)睦щy，實際中通常以截斷的二階Volterra級數(shù)展開式近似非線性模型[3]，即二階Volterra濾波器。在許多實際應(yīng)用中,所遇到的諸如水聲、低頻大氣噪聲以及許多人為噪聲等，往往具有一定的甚至是比較顯著的脈沖特性，這種噪聲不符合高斯分布，而是服從穩(wěn)定分布[4]。參考文獻[5]提出的非線性Volterra濾波器LMP算法性能在穩(wěn)定分布環(huán)境下要比傳統(tǒng)的Volterra濾波器LMS算法性能優(yōu)越。由于二階Volterra級數(shù)模型中非線性項將穩(wěn)定分布的尖峰脈沖特性更加放大，使輸入信號自相關(guān)矩陣的特征值擴展更大，從而導(dǎo)致傳統(tǒng)的VLMP算法收斂很慢，甚至不能正常工作。為了改善VLMP算法性能，本文將Volterra濾波器權(quán)向量的線性項部分和非線性項部分分別采用不同的收斂因子，并且利用更多的輸入信號和誤差信號的信息，更準(zhǔn)確地估計梯度，提出了數(shù)據(jù)塊VLMP算法(DBVLMP)。

1 傳統(tǒng)的二階Volterra LMP算法

一個截斷二階Volterra濾波器輸入輸出關(guān)系為：

其中N是記憶長度，輸入向量為：

其中,X1T(n),X2T(n)分別為線性部分和非線性部分的輸入向量：

相應(yīng)地，Volterra濾波器的權(quán)向量為：

n時刻線性部分的權(quán)向量為：

非線性部分的權(quán)向量為：

所以整個系統(tǒng)的輸出為y(n)=HT(n)X(n)。

傳統(tǒng)的Volterra LMP算法是將Volterra濾波器建模成一個偽線性算子，從而可以直接利用α穩(wěn)定分布下線性濾波器的LMP算法，得到VLMP算法的權(quán)向量修正公式[5]：

在α穩(wěn)定分布背景下Volterra濾波器的非線性項將穩(wěn)定分布的尖峰脈沖特性放大，導(dǎo)致輸入信號自相關(guān)矩陣的特征值擴展更大，只用一個收斂因子同時調(diào)整線性部分和非線性部分的權(quán)值后的收斂性能仍然很不理想。

2 α穩(wěn)定分布下Volterra濾波器的數(shù)據(jù)塊算法

現(xiàn)構(gòu)建由n時刻及其前m-1個時刻的輸入矢量所構(gòu)成的矩陣，分別表示如下：

分別記 D(n)和ξ(n)為由n時刻及其前m-1個時刻的期望輸出矢量和相應(yīng)的誤差矢量，表示為：

則誤差矢量ξ(n)可以表示為：

在α穩(wěn)定分布下，基于最小分散系數(shù)（MD）準(zhǔn)則[4]的代價函數(shù)為：

以誤差信號的瞬時值代替其統(tǒng)計平均，得到梯度估計[6]為：

sign()=[sign(ε(n)),sign(ε(n-1)),…，sign(ε(n-m+1)]T由此可以得到α穩(wěn)定分布下Volterra濾波器數(shù)據(jù)塊LMP（DBVLMP）算法的權(quán)系數(shù)調(diào)整公式如下：

3 算法仿真與性能分析

在α穩(wěn)定分布環(huán)境下,將本文算法應(yīng)用于非線性系統(tǒng)辨識。非線性系統(tǒng)期望輸出信號為:

d(n)=0.7x(n)+0.4x(n-1)-0.5x2(n)+0.1x2(n-1)-0.2x(n)x(n-1)+v(n),其中,v(n)為特征指數(shù)為 α、分散系數(shù) γ為1、對稱參數(shù)和位置參數(shù)均為0的α穩(wěn)定分布（稱為標(biāo)準(zhǔn)對稱α穩(wěn)定分布）噪聲，輸入信號x(n)=0.5x(n-1)+s(n),s(n)為均值為0的高斯噪聲。令 var_x為x的方差，定義廣義信噪比為）,設(shè) GSNR=30。 用權(quán)系數(shù)誤差范數(shù)如式（16）所示分析算法的收斂性能。每條曲線由20次獨立實驗求平均得到。

實驗一：比較m=1時的DBVLMP算法和VLMP算法。特征指數(shù)α=1.8標(biāo)準(zhǔn)對稱α穩(wěn)定分布環(huán)境中權(quán)值h0曲線和權(quán)系數(shù)誤差范數(shù)曲線如圖1和圖2所示。

圖1 α=1.8,權(quán)值h0收斂曲線

圖2 α=1.8，兩種算法誤差曲線

m=1時，DBVLMP算法退化為一般的采用2個收斂因子分別對線性部分和非線性部分進行調(diào)整的改進型VLMP算法。由圖1可知，m=1時的DBVLMP算法權(quán)值h0能快速穩(wěn)定地收斂,而VLMP算法不能正常工作；從圖2可看出，本文算法表現(xiàn)出了遠比VLMP算法優(yōu)越的性能；說明對權(quán)向量的線性項部分和非線性項部分采用不同的收斂因子可以大大改善VLMP算法性能。

實驗二：在不同特征指數(shù)標(biāo)準(zhǔn)對稱α穩(wěn)定分布下，m對DBVLMP算法性能的影響。取不同值時DBVLMP算法權(quán)系數(shù)誤差范數(shù)曲線和權(quán)值的仿真結(jié)果如圖3～圖6所示。

圖3和圖5給出了當(dāng)特征指數(shù) α=1.8和 α=1.3，m取不同數(shù)時，本文算法的權(quán)系數(shù)誤差范數(shù)曲線。由圖可知，隨著m的增大，DBVLMP算法的收斂速度越來越快，但是這種加快的趨勢在減??；m≤10時，增大m,DBVLMP算法收斂速度提高明顯；m≥10時，增大 m，收斂速度提高緩慢。圖4和圖6所示的是取m=10時，不同特征指數(shù)下DBVLMP算法的權(quán)值的收斂曲線。由圖可知,在不同脈沖噪聲背景下，DBVLMP算法都能夠非?？焖俚厥諗康狡谕麢?quán)值。同時，當(dāng)算法收斂時，沒有因為大幅度的脈沖噪聲而出現(xiàn)大的抖動，這說明DBVLMP算法對脈沖噪聲有較強的韌性。

本文提出了α穩(wěn)定分布下Volterra濾波器的一種數(shù)據(jù)塊LMP新方法，該算法分別采用不同的收斂因子，自適應(yīng)調(diào)節(jié)濾波器權(quán)向量的線性項部分和非線性部分，利用了更多的輸入信號和誤差信號的信息估計梯度，從而獲得比VLMP算法更高的濾波過程的收斂速度和精度。

[1]TAN L，JIANG J N.Adaptive volterra filters for active control of nonlinear noise processes[C].IEEE Transaction on Acoustics Speech and Signal Processing,2001,49(8):1667-1676.

[2]ZHOU Da Yong,DEBRUNNER V,ZHAI Yan.Efficient adaptive nonlinear ECHO cancellation,using sub-band implementation of the adaptive volterra filter[C].IEEE international Conference on Acoustics,Speech and Signal Processing,2006,(5):277-280.

[3]MATHEWS V J.Adaptive polynomial filters[J].IEEE Signal Processing Magazine.1991,8(3):10-26.

[4] 邱天爽,張旭秀,李小兵,等.統(tǒng)計信號處理[M].北京:電子工業(yè)出版社,2004.

[5]WENG Bin Wei,NONLINEAR K E.Nonlinear system identification in impulsive environments[C].IEEE Transactions on signal processing,2005,53(7):2588-2594.

[6]ZHAO Zhi Jin,DONG Ke Hai,XU Chun Yun.Data block adaptive filtering algorithms for α-stable random processes[J].Digital Signal Processing,2007,17(4):836-847.