王化銀

（安徽省淮北市第一中學(xué) 安徽 淮北 235000）

1 軌道作用力的一般求解方法

【例題】如圖1所示，一質(zhì)量為M的帶有光滑半圓弧軌道的滑塊靜止在光滑水平地面上，半圓弧軌道半徑為R.現(xiàn)將一個(gè)質(zhì)量為m的小球從圓弧軌道右端由靜止釋放，當(dāng)小球滑至軌道最低點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)小球的支持力為多大？

圖1

解析：當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)在水平方向不受外力，由動(dòng)量守恒定律有

對(duì)系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律有

聯(lián)立可解得小球、滑塊的速度大小分別為

由于二者速度反向，則小球相對(duì)滑塊的速度大小為

當(dāng)小球在最低點(diǎn)時(shí)滑塊的加速度為零，所以滑塊是慣性參考系，對(duì)小球有

得軌道對(duì)小球的支持力為

（2）小球在最低點(diǎn)時(shí)M的加速度為零，滑塊是慣性參考系，牛頓第二定律成立.

2 以地面為參考系 求解軌道作用力

2.1 小球軌道方程

建立兩個(gè)參考坐標(biāo)系：一是固定在地面的直角坐標(biāo)系xOy（取小球在最低點(diǎn)時(shí)滑塊的圓心對(duì)地位置為原點(diǎn)），二是固定在滑塊M上并隨之一起運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系x′O′y′.設(shè)m相對(duì)坐標(biāo)系Oxy的水平位移為x，m相對(duì)坐標(biāo)系x′O′y′的水平位移為s，以地面為參考，系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒

而小球相對(duì)滑塊M運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，在坐標(biāo)系x′O′y′有幾何關(guān)系s2＋y2＝R2，從而得到小球在地面坐標(biāo)系xOy中的軌跡是橢圓，方程為

2.2 曲率半徑

如圖2所示，太陽(yáng)系中某行星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道為橢圓，太陽(yáng)位于其中的一個(gè)焦點(diǎn)F上，橢圓的半長(zhǎng)軸為a，半短軸為b，半焦距為c，太陽(yáng)質(zhì)量為M.試求行星在近日點(diǎn)A和遠(yuǎn)日點(diǎn)B的速度表達(dá)式.

圖2

設(shè)行星質(zhì)量為m，以vA和vB分別表示在兩點(diǎn)的速度，它們的方向均與橢圓長(zhǎng)軸垂直，且A和B兩點(diǎn)離太陽(yáng)的距離分別為

根據(jù)開(kāi)普勒第二定律

行星經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能分別為

由機(jī)械能守恒定律EA＝EB，聯(lián)立解得

利用a2－b2＝c2得

由牛頓第二定律

得橢圓在A點(diǎn)的曲率半徑

將上式用于小球的橢圓軌道方程，得到最低點(diǎn)的曲率半徑為

2.3 軌道彈力

對(duì)最低點(diǎn)的小球用牛頓第二定律，有

其中

為小球相對(duì)于地面的速度.所以軌道對(duì)小球的支持力為

3 當(dāng)小球滑至軌道任一位置處（以與水平方向夾角θ表示）時(shí)軌道的壓力

如圖1所示，設(shè)小球在地面坐標(biāo)系中的水平分速度為vx，滑塊的速度大小為u，系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒，有

又系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有

在滑塊參考系中，約束關(guān)系式為

解以上各式得

小球相對(duì)于滑塊的速度v′大小為

設(shè)滑塊在小球壓力的水平分力作用下的加速度為a，則

在滑塊參考系中，需考慮小球所受的慣性力，得小球的法向動(dòng)力學(xué)方程為

聯(lián)立得軌道對(duì)小球的支持力為

即小球滑至軌道最低點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)小球的支持力.

由以上可以看出，求解小球滑至軌道任一位置處時(shí)軌道的壓力，向心力公式中用小球相對(duì)于滑塊的速度v′，巧妙地避開(kāi)了橢圓上任意點(diǎn)曲率半徑的復(fù)雜求解問(wèn)題，從而使本問(wèn)題的求解變得簡(jiǎn)捷、清晰.

1 程稼夫.中學(xué)奧林匹克競(jìng)賽物理教程力學(xué)篇，合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2012

2 鄭金.非圓周運(yùn)動(dòng)中的向心力.物理教學(xué)探討，2013（2）