金 翔,張?zhí)祢U,龐 統(tǒng),杜曉華

(重慶郵電大學 信號與信息處理重慶市重點實驗室，重慶 400065)

多項式相位信號(PPS)是信號處理領域中一個具有重要意義的非平穩(wěn)信號模型，它在雷達、聲納、語音和通信領域得到了廣泛應用。LFM信號是PPS的一個特例，當前LFM信號參數估計方法主要通過二維目標函數結合二維搜索來實現，比如最大似然估計、基于時頻分析的參數估計方法、FRFT、匹配傅里葉變換(DCFT)等。由于二維搜索法計算量較大，尤其當估計的精度要求較高時，浪費了大量時間去作對檢測無用的變換計算。為了解決這些問題，本文研究了多項式相位信號估計的一種快速算法。

1 基于分數階傅里葉變換的LFM信號檢測與參數估計

信號 x(t)的 FRFT定義為[1]：

式中FRFT的變換核Kp(t,u)為:

其中，n為整數，α稱為旋轉角度，且 α=pπ/2，p為 FRFT的階數，Fp[·]為 FRFT的算子符號。

信號x(t)的FRFT是線性變換，它與WVD的關系可解釋為時頻平面的旋轉算子，這一特性決定了FRFT特別適合于處理LFM類信號[7]。如圖1所示，一個有限長LFM信號的Wigner分布在時頻平面呈現為斜直線的背鰭形分布，因此，若在與該斜直線相垂直的分數階域上求信號的分數階Fourier變換，則在該域的某點將出現明顯的峰值。而噪聲的能量均勻地分布在整個時頻平面內，在任何的分數階Fourier域上均不會出現能量聚集。利用這一特性，可實現LFM信號的檢測和參數估計。

設含有噪聲的單分量LFM信號表示為:

其中，a0、φ、f0和 μ0分別為信號幅度、初始相位、初始頻率和調頻斜率，w(t)為加性高斯白噪聲(方差為σ2)。則上述的chirp信號檢測和估計過程可描述為:

2 延時相關解調技術與FRFT的快速算法

2.1 LFM信號延時相關解調

設含有噪聲的單分量LFM信號x(t)為:

其中 A、f0、μ0分別是 LFM信號的幅度、初始頻率、調頻斜率，w(t)是零均值平穩(wěn)高斯白噪聲，方差為σ2。參考文獻[3]證明了LFM信號經延時相關解調后變成一個頻率為 f0′=μ0τ的正弦信號和均值為零的噪聲信號,且方差為2A2σ2+σ4。

所以可以通過FFT估計該正弦信號頻率 f0′,得到LFM信號參數μ0的估計值：

[2]論證了 τ的最佳選擇在 τ=0.4T時，且調頻斜率的搜索范圍為[3]：

其中,N是采樣點數，fs是采樣率。

2.2 多項式相位信號延時相關解調

本文討論非線性調頻信號在雷達中的應用，只考慮三階PPS信號的參數估計，信號的模型為：

其中,A為信號幅值,w(t)是零均值平穩(wěn)高斯白噪聲，方差為σ2。一次延時相關解調可以使相位階數下降一階，現考慮二次延時相關解調。

參考文獻[5]證明了PPS信號經二次延時相關解調后變成一個頻率為 f0=6τ2a3/2π的正弦信號淹沒在均值為0、方差為 6A6σ2+10A4σ4+4A2σ6+σ8的噪聲中,即信號 x(t)經過二次延時相關解調后，接收信號延時相關函數的信噪比RSNRo與原始信號信噪比(RSNRi)的關系為：

通過FFT估計該正弦信號頻率f0，就可以得到多項式相位信號參數a3的估計值:

參考文獻[5]從正弦信號頻率估計的角度，說明了τ取 2T/7 時，3的誤差最小。

基于以上分析和PPS信號的性質，PPS(三階)信號估計可按以下步驟進行:

(1)信號 x(t)通過二次延時相關解調，由式(11)估計出最高階項系數3；

(2)構造參考函數 xr(t)=exp[j(a1t+a2t2++a3t3)]·exp(-ja3t3)，對xr(t)作FRFT，由式(5)可進行相關參數的估計。

3 仿真實驗與結果分析

實驗一：設信號的數學模型如下式表示:

采樣點數為1 024,采樣頻率fs=1 000 Hz,初始頻率f0=345 Hz，調頻斜率k=100,w(t)為高斯白噪聲。 當信噪比為-2 dB時，若取分數階的步長Vp=0.000 1進行FRFT，得到三維圖如圖2所示,進行能量的最佳搜索。由式(5)可估計出信號為:

用延時相關解調方法得到正弦信號，然后對其作離散傅氏變換，如圖3所示,由幅度譜可得到調頻斜率k=90.609 4,代入相關參數到式(8)，得到調頻斜率k∈(91.980 0,107.238 8)，從而得到分數階p的搜索范圍p∈(1.0597,1.0696)。

由此可以在相應區(qū)間進行FRFT，得到其對應模值,如圖4所示，其橫軸為分數階p，縱軸為相應的p對應的模值，可以從圖中得到p=1.065 0時，模值最大，即此時有最佳能量聚集特性。圖5為最佳能量聚集時的分數階模值圖，從圖中明顯看出能量的聚集性。此時，估計出信號為:

通過比較式(13)和式(14)可以看出兩者結果一樣，原因是兩者旋轉角度采用相同的步長,而采用相關解調后分數階區(qū)間縮小到（1.059 7，1.069 6），在相同精度的條件下其計算量與二維搜索法計算量相比是其1/400以下。由于沒有在時域附近做FRFT，所以不會出現偽峰干擾。

圖6為LFM信號參數的誤差分析圖，從圖中可以看出在信噪比大于-6 dB情況下，可以較為準確地估計出信號參數，由于最終信號各參數的估計值都是基于FRFT檢測的，所以此種方法并不影響誤差。

實驗二：設信號的數學模型如下式所示:

其中采樣頻率 fs=1 024，采樣點 N=1 024，a1=20，a2=100，a3=50，t=2T/7。

x(t)信號相關解調后，輸入 SNR范圍為-4～6 dB，分別運行200次Monte Carlo實驗，圖7是采用此方法得到的均方誤差隨信噪比變化的特性圖，從圖中可以看出，當信號信噪比大于0 dB時，算法的性能比較穩(wěn)定。

對于(12)式的信號模型，設 SNR=6 dB,由圖 8正弦信號的幅度譜和式(11)可得到a3=50.265 5，再按多項式相位信號估計步驟進行估計，進行FRFT，得到三維圖如圖9所示。根據公式(5)估計出信號為:

目前對FRFT的計算簡便方法的研究已經比較深入，通過分解法可使分數階計算的量逼近于(NlogN)[1]，由于計算量非常之大，本文提出了先延時相關解調，粗略估計LFM信號調頻系數的范圍，再進行小范圍數值的分數階變換，大大減小了計算量，變二維譜峰搜索為一維搜索,并且在信噪比大于-6 dB時，取得了較好的效果。同時，引入分數階傅里葉變換與延時相關解調相結合，對多項式(三項式)相位信號進行檢測，在信噪比大于0 dB時取得了較好的效果。

參考文獻

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