● (德清縣第一中學 浙江德清 313200)

在2010年全國各地的數(shù)學高考試卷中，應用題依然占據(jù)重要一席.數(shù)學應用題的解答是分析問題和解決問題能力的高層次表現(xiàn)，能反映出考生的創(chuàng)新意識和實踐能力.因此從1993年開始，數(shù)學高考就逐步開始加強了數(shù)學應用和實踐能力的考查.近幾年來，隨著新課程改革的不斷推進，應用題逐漸成為高考考查的一個重點.

1 應用型問題在高考中的地位

2010年全國各地高考試卷中有關應用題的命題按照“考查基礎知識的同時，注重考查能力”的原則，將知識、能力和素質(zhì)融為一體，全面檢測了考生的數(shù)學素養(yǎng)，體現(xiàn)了高考對數(shù)學應用和實踐能力的考查要求：能綜合應用所學數(shù)學知識、思想和方法解決問題，包括解決在相關學科、生產(chǎn)、生活中的數(shù)學問題；能閱讀、理解對問題進行陳述的材料；能夠?qū)λ峁┑男畔①Y料進行歸納、整理和分類，將實際問題抽象為數(shù)學問題，建立數(shù)學模型；應用相關的數(shù)學方法解決問題并加以驗證，并能用數(shù)學語言正確地表述、說明.

2 命題特點和知識類型

具體地講，2010年全國各地數(shù)學高考試卷中的應用題可謂是精彩紛呈.首先表現(xiàn)在問題情境的豐富多彩，既有傳統(tǒng)的“摸球問題”、“種子發(fā)芽率”、“海上航行”、“電視塔高度測量”、“撲克牌的抽取”、“工廠的生產(chǎn)計劃與利潤”等問題，也有新穎的“品酒師的酒味鑒別功能”、“營養(yǎng)師為兒童定制午餐與晚餐”問題，以及社會關注的“城市缺水”問題、“志愿者為老人提供幫助”問題，還出現(xiàn)了具有時代特征的“上海世博會入園人數(shù)”、“志愿者赴世博會場館”、“迎接2010廣州亞運會”等問題，體現(xiàn)了應用題背景的多樣性.但從解決應用題的第一關“閱讀理解”來講，所有問題都很樸實，貼近生活，易于學生理解，顯然未從背景角度設置障礙.從應用題考查的具體內(nèi)容來看，出現(xiàn)頻率較高的仍然是近幾年的熱點“概率”問題，尤其是大題，譬如浙江、安徽、江蘇、江西、山東、四川等省的理科卷和部分文科卷，都重點考查了隨機變量的分布列與數(shù)學期望等有關概率計算的問題；在湖南、遼寧、廣東等卷的大題中，出現(xiàn)了“統(tǒng)計”或“概率與統(tǒng)計”型的應用題，起到了有效降低難度的作用；另有“線性規(guī)劃”、“解三角形”、“函數(shù)求最值”等出現(xiàn)在大題中，小題中出現(xiàn)較多的是“排列組合與計數(shù)原理”、“古典概型”、“程序框圖”、“函數(shù)應用”、“抽樣方法”、“統(tǒng)計圖表”等應用型題目.總體來講，全國各地試卷中的應用題雖然形式新穎、內(nèi)容廣泛，但都立意明確，難度不大.

3 亮點掃描

3.1 關注生活，學以致用

例1某地有居民100 000戶，其中普通家庭99 000戶,高收入家庭1 000戶．從普通家庭中以簡單隨機抽樣方式抽取990戶，從高收入家庭中以簡單隨機抽樣方式抽取100戶進行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)共有120戶家庭擁有3套或3套以上住房，其中普通家庭50戶，高收人家庭70戶．依據(jù)這些數(shù)據(jù)并結(jié)合所掌握的統(tǒng)計知識，你認為該地擁有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估計是________.

(2010年安徽省數(shù)學高考文科試題)

分析本題為分層抽樣問題.首先分別根據(jù)普通家庭和高收入家庭中擁有3套或3套以上住房的家庭所占的比例，得出100 000戶居民中擁有3套或3套以上住房的戶數(shù)，它除以100 000得到的值即為該地擁有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估計.

本題設置的情境具有時代氣息，是當前社會關注的焦點問題，背景清晰、立意新穎、設問巧妙、獨具匠心.主要運用了統(tǒng)計中的分層抽樣、用樣本估計總體的知識，強調(diào)了數(shù)學學習要關注“知識的運用”.本題以小題的形式出現(xiàn)，減輕了學生應用題的壓力，很好地把握了應用題的度.

3.2 回歸課本，體現(xiàn)課標

例2一位國王的鑄幣大臣在每箱100枚的硬幣中各摻入了一枚劣幣，國王懷疑大臣作弊，他用2種方法來檢測.方法1：在10個箱子中各任意抽查1枚；方法2：在5個箱子中各任意抽查2枚.國王用方法1和方法2能發(fā)現(xiàn)至少1枚劣幣的概率分別為p1和p2，則

( )

A.p1=p2B.p1p2

D.以上3種情況都有可能

(2010年江西省數(shù)學高考理科試題)

分析本題考查的是不放回的抽球問題，重點考查二項分布的概率.本題是北師大版新課標的課堂作業(yè)，作為舊大綱的最后一年高考，給出了一個強烈的導向信號.2010年全國各地考卷中的很多應用題的背景都與課本例題相似，可以說是課本例題的變式題.

3.3 綜合考查，出現(xiàn)壓軸

例3品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，一種通常采用的測試方法如下：拿出n瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓其品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序；經(jīng)過一段時間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這n瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測試.根據(jù)一輪測試中的2次排序的偏離程度的高低為其評分.

現(xiàn)設n=4，分別以a1,a2,a3,a4表示第1次排序時被排為1,2,3,4的4種酒在第2次排序時的序號，并令

X=|1-a1|+|2-a2|+|3-a3|+|4-a4|，

則X是對2次排序的偏離程度的一種描述.

(1)寫出X的可能值集合.

(2)假設a1,a2,a3,a4等可能地為1,2,3,4的各種排列，求X的分布列.

(3)某品酒師在相繼進行的3輪測試中，都有X≤2.

①試按第(2)小題中的結(jié)果，計算出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率(假定各輪測試相互獨立)；

②你認為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說明理由.

(2010年安徽省數(shù)學高考理科試題)

分析作為“壓軸題”，本題考查的知識點較多，涉及到排列組合、離散型隨機變量的概率分布、互斥事件與相互獨立事件的概率公式、小概率事件發(fā)生的含義等.從數(shù)學思想與方法而言，重點考查了概率思想在現(xiàn)實生活中的應用，考查了考生的抽象概括能力、應用與創(chuàng)新意識.解答本題的難點，首先是在復雜場合下進行計數(shù)的能力.在解答第(1)小題時，若根據(jù)對4個數(shù)字奇、偶性的分析概括出X的可能值，則需要高度的抽象概括能力，多數(shù)考生不會采用這樣的方法；若采用列舉法將24種排列全部列出，則需要時間和耐心，稍有不慎，失誤在所難免.第(3)小題“你認為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說明理由”屬于開放式的設問方式，有利于考查考生的發(fā)散性思維.考生需要首先發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后再去論證結(jié)論.這樣的處理增加了問題的難度，增加了本題作為壓軸題的份量.

4 復習建議

4.1 重視基礎，回歸教材

從2010年全國各地數(shù)學高考試題中的應用題來看，常規(guī)題型依然是考查的主流，考查的幾乎都是現(xiàn)行高中數(shù)學教材中最基本、最重要的數(shù)學知識和數(shù)學思想方法.因此高三復習應改變以往片面追求“新、奇、怪”的極端做法，回歸教材，狠抓基礎，靈活運用知識處理問題.教材是高考試題的重要知識載體，是學習數(shù)學基礎知識、形成基本技能的“藍本”.因為在復習過程中，以課本為“藍本”對題目舉一反三地加以類比、延伸和拓展，在“變式”上下功夫，力求做到“以不變應萬變”.

4.2 建立模型，突破三關

解決應用題的關鍵是建立數(shù)學模型，也就是將實際問題抽象為數(shù)學問題，從各種關系中找出最關鍵的數(shù)量關系，將這些關系用有關的量及數(shù)字、符號表示出來.一般地，解決應用題需突破以下3關：

(1)閱讀理解關：一般數(shù)學應用題的文字閱讀量都比較大，要通過閱讀審題，找出關鍵詞、句，理解其意義;

(2)建模轉(zhuǎn)化關：即建立實際問題的數(shù)學模型，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題;

(3)數(shù)理求解關：運用恰當?shù)臄?shù)學方法去解決已建立的數(shù)學模型．

4.3 綜合應用，滲透思想

“重視綜合能力的考查、在知識網(wǎng)絡的交匯處設計試題”是近幾年數(shù)學高考命題的重大改革趨勢，2010年的應用題體現(xiàn)了綜合運用的趨勢，譬如概率與統(tǒng)計、概率與排列組合、函數(shù)與幾何等的綜合應用.

探究性、應用性是創(chuàng)新型試題的重要組成部分，探究性、應用性試題具有強大的考查功能，能夠彌補傳統(tǒng)試題的不足，填補傳統(tǒng)試題的考查盲區(qū).在教學中，一定要精心設計好數(shù)學探究的教學和數(shù)學建模的教學，同時也要把數(shù)學探究和數(shù)學建模的理念和思想滲透和融入到常規(guī)課堂教學中.