摘要:向量優(yōu)化問題在物流系統(tǒng)中有著廣泛的應(yīng)用,在向量優(yōu)化問題中,決策者為了選擇一個“最好的”可行方案,需要綜合考慮各個目標(biāo)因素。由于向量優(yōu)化問題的解和決策者的偏好緊密聯(lián)系,所以最優(yōu)解的概念在這里是沒有意義的。通常研究的是有效解和弱有效解,它們和決策者的控制結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。文章研究了當(dāng)目標(biāo)空間的控制結(jié)構(gòu)為多面體錐時,錐約束凸向量優(yōu)化問題的弱有效解集的非空緊性的各種刻畫,從而為向量優(yōu)化問題計算方法的發(fā)展提供了很好的理論基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞:向量優(yōu)化;弱有效解;錐約束優(yōu)化

中圖分類號:F224文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

Abstract: There are many applications about vector optimization problems in logistics system. In order to solve these kinds of problems, people should take into account many factors which are related to their preferences. While considering these problems, we usually study the efficient solution and weakly efficient solution instead of optimal solution. In this paper, I characterize the nonemptiness and compactness of the weakly efficient solution set of a cone-constrained convex vector optimization problem, which is very help to obtain some weakly efficient solution in vector optimization problems.

Key words: vector optimization; weakly efficient solution; cone-constrained optimization

1研究背景和基本知識

向量優(yōu)化問題在物流技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用,物流系統(tǒng)中許多決策問題都有多個目標(biāo),例如:當(dāng)今全球市場競爭激烈,新產(chǎn)品的生命周期越來越短,顧客期望值不斷提高,這些因素迫使企業(yè)開始投資并關(guān)注于它們的供應(yīng)鏈。在供應(yīng)鏈中,企業(yè)首先需要購買原材料,在一個或多個工廠中生產(chǎn)出產(chǎn)品,然后運到倉庫臨時存儲,最后再運給零售商或客戶。在這個系統(tǒng)中,需要考慮的是減少成本和提高服務(wù)水平兩個目標(biāo)。另外,系統(tǒng)的所有成本,包括運輸和配送,以及原材料、在制品和成品的庫存,都要最小化。因此這也是一個多目標(biāo)問題。又如,在派送網(wǎng)絡(luò)配置問題中,考慮幾個生產(chǎn)廠向一群地理上分散的零售商提供產(chǎn)品。目前倉庫配置被認(rèn)為是不合理的,管理者希望重新組織或重新設(shè)計配送網(wǎng)絡(luò)。這可能源于需求模式的改變或一些現(xiàn)有倉庫租約的終結(jié)。另外,需求模式的改變可能需要改變工廠的產(chǎn)量、新供應(yīng)商的選擇,以及貨物在配送網(wǎng)絡(luò)中的流動方式。管理者應(yīng)如何選擇倉庫的位置和容量,確定每個廠商的生產(chǎn)批量,并設(shè)定設(shè)施之間的運輸流,包括生產(chǎn)廠到倉庫和倉庫到零售商,以保證這些決策可以最小化所有生產(chǎn)、庫存和運輸?shù)某杀?并滿足必要的服務(wù)水平要求。這是一個含有生產(chǎn)、庫存,運輸成本和服務(wù)水平的有4個目標(biāo)的決策問題。

以上列舉的多目標(biāo)決策問題都有一些共同的特點,其中最顯著的是以下兩點:目標(biāo)間的不可公度性和目標(biāo)間的矛盾性。所謂目標(biāo)間的不可公度性是指各個目標(biāo)沒有統(tǒng)一的度量標(biāo)準(zhǔn),因而難于進(jìn)行比較,例如在供應(yīng)鏈問題中,成本以元計,而服務(wù)水平以顧客的滿意度計。目標(biāo)間的矛盾性是指如果采用一種方案去改進(jìn)某一目標(biāo)的值,可能會使另一目標(biāo)的值變壞。例如在派送網(wǎng)絡(luò)配置問題中如果提高產(chǎn)量,增加庫存就會使運輸成本增加;如果提高服務(wù)水平就會使庫存增加。由于多個目標(biāo)之間的矛盾性和不可公度性,因此不能簡單的把多個目標(biāo)歸并為單個目標(biāo),使用求解單目標(biāo)決策問題的方法去求解多目標(biāo)決策問題,這樣就提高了求解多目標(biāo)的問題的難度,同時也說明了多目標(biāo)問題解集的復(fù)雜性。

在向量優(yōu)化問題中,決策者需要綜合考慮各個目標(biāo)因素。在做出決定時,人們試圖去選擇一個“最好的”可行方案。它意味著需要把所有可行的方案按照優(yōu)劣排列先后次序,方案的優(yōu)劣是根據(jù)所有目標(biāo)的屬性值衡量的,而目標(biāo)的屬性值是建立在決策人的偏好結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上的。換句話說,決策人的偏好結(jié)構(gòu)是指對于一個多目標(biāo)決策問題,他能按自己的偏好把可行方案中的每兩個進(jìn)行比較,區(qū)分其優(yōu)劣,然后排列該方案的先后次序。比較兩個方案時,將產(chǎn)生次序關(guān)系。偏好序為一種次序關(guān)系,它也是一種二元關(guān)系。這種二元關(guān)系包括一個方案嚴(yán)格優(yōu)于另一方案,一個方案無差異于另一個方案,一個方案不劣于另一個方案。我們用符號φ表示嚴(yán)格偏好序的“優(yōu)于”,用符號～表示優(yōu)先—無差異序的“無差異序”,用符號≥表示優(yōu)先—無差異序的“至少不劣于”。

對于上述偏好序,記它的方案集合為YR,如果它具有以下性質(zhì):

(1)自反性即對y∈Y, y≥Y

(2)反對稱性即對y, y∈Y, y≥y且y≥yy=y

(3)傳遞性即對y,y, y∈Y, y≥y且y≥yy≥y

則稱這個序為偏序,稱Y為偏序集(偏序空間)。如果YY,則Y也為偏序集。如果Y上任意兩點均可以比較大小,則Y為全序集。

為了更好的描述這一類問題,在參考文獻(xiàn)[1]中引入了控制結(jié)構(gòu)的概念。設(shè)Y為線性空間,CY非空,在C上定義了Y的序≤C,即y≤C yy-y∈C。

則稱C為控制結(jié)構(gòu)。如果C為尖閉凸錐,則≤C為偏序。

如前面所述,由于向量優(yōu)化問題的解和決策者的偏好緊密相關(guān),所以最優(yōu)解的概念在這里是沒有意義的。我們通常研究的是有效解和弱有效解,它們和決策者的控制結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。設(shè)Y為控制結(jié)構(gòu)為D的序空間。如果對y∈Y都有y--D