位于光滑水平面上的兩個彈性小球，質(zhì)量分別是m1和m2，速度分別是v1和v2，其中v1≠0，v2=0。若兩球發(fā)生完全彈性碰撞，根據(jù)機械守恒定律和動量守恒定律可導(dǎo)出兩球碰撞后的速度v′1和v′2的大小分別是：

v′1=m1-m2m1+m2v1①

v′2=2m1m1+m2v1②

筆者擬以公式①②為基礎(chǔ)，導(dǎo)出兩球速度均不為零時；發(fā)生完全彈性碰撞后的速度公式，并通過典型的例題分析說明它們的具體應(yīng)用。

1 光滑水平面上的兩小球速度方向相反，發(fā)生完全彈性碰撞。

如圖1，兩球質(zhì)量分別是m1和m2，碰撞前速度分別是v1和v2，且v1≠0，v2≠0，求碰撞后的速度v′1和v′2。

分析與解 以質(zhì)量為m2的小球為參照物，并取v1的方向為正方向，m1相對于m2的速度大小v12=v1-(-v2)=v1+v2

由公式①、②可得到以m2為參照物的碰后速度公式：

v′12=m1-m2m1+m2(v1+v2)③

v′22=2m1m1+m2(v1+v2)④

再以大地為參照物，則兩球碰撞后的速度v′1和v′2分別為：

v′1=v′12-v2=m1-m2m1+m2(v1+v2)-v2⑤

v′2=v′22-v2=2m1m1+m2(v1+v2)-v2⑥

2 光滑水平面上兩球的速度方向相同，發(fā)生完全彈性碰撞。

如圖2，設(shè)兩球質(zhì)量分別是m1和m2，速度大小分別是v1和v2，且v1≠0，v2≠0，v1>v2，求兩球碰撞后的速度v′1和v′2



分析與解 以質(zhì)量為m2的小球為參照物，m1相對于m2的速度v12=v1-v2。

由公式①、②可得到以m2為參照物的碰后速度公式：

v12=m1-m2m1+m2(v1-v2)⑦

v22=2m1m1+m2(v1-v2)⑧

再以大地為參照物，則兩球碰后的速度v′1和v′2大小分別為：

v′1=v′12+v2=m1-m2m1+m2(v1-v2)+v2⑨

v′2=v′22+v2=2m1m1+m2(v1-v2)+v2⑩

3 例題分析

如圖（3）所示，一輕彈簧直立在水平地面上，其下端固定，上端連一質(zhì)量為M的鋼板，處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)有一質(zhì)量為m的小球，從距鋼板5米高處自由落下，并與鋼板發(fā)生碰撞，碰撞時間極短且無機械能損失，已知M=3m，不計空氣阻力，取g=10m/s2。



（1）求小球與鋼板第一次碰撞后的瞬間小球的速度v1和v2。

（2）如果鋼板做簡諧運動的周期為2s，求小球第二次與鋼板碰撞后小球的速度v′1和鋼板的速度v′2。

分析與解 ①小球自由下落與鋼板碰撞前的速度v0=2gh=2×10×5=10(m/s)由前述公式①、②可得小球與鋼板碰后的速度：

v1=m1-m2m1+m2v0=m-3mm+3m×10

=-5(m/s)

v2=2m1m1+m2v0=2m4m×10

=5(m/s)

②根據(jù)運動學(xué)規(guī)律可推知，小球與鋼板第二次碰撞的位置在鋼板的平衡位置處，碰前鋼板的速度大小為5m/s，方向豎直向上；小球的速度大小為5m/s，方向豎直向下，兩個物體的速度均不為零。

根據(jù)前述公式⑤、⑥可得，第二次碰撞后，小球的速度

v′1=m1-m2m1+m2(v1+v2)-v2

=-10m/s

鋼板的速度

v′2=2m1m1+m2(v1+v2)-v2

=0。

即碰后，小球反向運動，其速度大小為10m/s，鋼板的速度變?yōu)榱恪?/p>

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。