數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科，和物理學(xué)的結(jié)合非常緊密。

圓是平面幾何中一個(gè)重要的概念，也是描述物體運(yùn)動(dòng)、研究物理問題的典型模型。本文從高中物理利用圓的特征解題的幾個(gè)案例來說明數(shù)學(xué)的概念、定理、圖形與物理的結(jié)合，可使物理的解題技巧化。

1 運(yùn)動(dòng)特征→圓特征→判斷物體運(yùn)動(dòng)軌跡

例1 一只狼沿半徑為R的圓形島邊緣以逆時(shí)針方向勻速跑動(dòng)，如圖1所示，狼過A點(diǎn)時(shí)，一只獵犬以相同的速率從O點(diǎn)出發(fā)追擊狼。若追擊過程中狼、犬、O點(diǎn)始終在同一直線上，則獵犬是沿什么軌跡運(yùn)動(dòng)的？

分析與解 審題時(shí)就有一個(gè)感覺，獵犬的運(yùn)動(dòng)是一條曲線，但曲線的具體特征卻并不明顯，針對(duì)高中物理常見的曲線運(yùn)動(dòng)類型，犬的運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線還是圓，還是一條其他曲線呢？要回答這個(gè)問題必須對(duì)犬的運(yùn)動(dòng)特征作進(jìn)一步的分析。

題設(shè)中明確指出：“追擊過程中狼、犬、O點(diǎn)始終在同一直線上”。因此，在任何時(shí)刻二者應(yīng)具有繞O的相同角速度。

設(shè)任一時(shí)刻，當(dāng)狼逃至B點(diǎn)時(shí)，犬位于C處，此時(shí)OC=r（如圖2），犬的速度v=v0，其沿OC與垂直O(jiān)C兩個(gè)方向的速度分量如圖2。

則：v1v0=v1v=rR

又：v2=v2-v21

則：v2v0=R2-r2R

即：v1∶v2∶v=r∶R2-r2∶R

不難得出：DC⊥OC

即：犬任一時(shí)刻均處于以O(shè)D為直徑的圓周上，

即：犬的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧OCD

評(píng)釋 這里我們利用了圓“直徑所對(duì)的圓周角是直角”的特征。并且根據(jù)軌跡，我們還可以知道，犬在D點(diǎn)追到了狼。

2 矢量合成→圓特征→求物理量的極值

例2 小船在靜水中的速度v1=2m/s，河水流動(dòng)的速度為v2=4m/s，河寬d為50m，求小船過河時(shí)的最小位移。

分析與解 將小船過河的運(yùn)動(dòng)看成水流的運(yùn)動(dòng)v2（水沖擊船的運(yùn)動(dòng)）和小船相對(duì)于水的運(yùn)動(dòng)v1（靜水中船的運(yùn)動(dòng)）的合運(yùn)動(dòng)。

即v→=v2→+v1→

因?yàn)関1

cosθ=v1v2，

過河最小位移Smin=dcosθ=dv2v1



評(píng)釋 題中v1的大小雖已確定，但其方向卻仍有多種可能，其矢量線段的長(zhǎng)短確定，但矢量線段末端位于一半圓周上，利用數(shù)學(xué)中切線和割線的相關(guān)性質(zhì)，就可以非常簡(jiǎn)便的求出物理量的極值了。

3 圓特征→輔助圓→求解運(yùn)動(dòng)時(shí)間

如圖4甲，在豎直平面的圓環(huán)內(nèi)，A為最高點(diǎn)，過A任意一條弦均為光滑桿，則物體沿桿下滑的時(shí)間t=2sa=2×2Rcosθgcosθ=4Rg，滑動(dòng)時(shí)間與桿的傾斜角度無關(guān)，我們可以把這個(gè)結(jié)論表述為：自圓上最高點(diǎn)不同光滑弦（桿子、斜面）到達(dá)圓周的時(shí)間相等。（自圓上不同點(diǎn)沿不同光滑弦到達(dá)圓周最低點(diǎn)的時(shí)間也相等。如圖4乙）



在日常的教學(xué)中，我們也把這個(gè)圓周模型稱為“等時(shí)圓”。在比較物體沿不同軌道運(yùn)動(dòng)求解時(shí)間的問題中，如果能添加“等時(shí)圓”這個(gè)輔助圓來解題，往往會(huì)更簡(jiǎn)潔。

例3 如圖5，半徑分別為r和R的圓環(huán)豎直放置相切于兩圓豎直直徑處，一條公共斜弦過兩圓切點(diǎn)且分別與兩圓相交于a、b兩點(diǎn)。在此弦上鋪一條光滑軌道，且令一小球從a點(diǎn)以某一初速度沿軌道向上拋出，設(shè)小球恰好能上升到b點(diǎn)，則該小球從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)所用的時(shí)間為多少？

分析與解 題中這條軌道恰分別過兩圓的最低最高點(diǎn)，因此b至o的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與d到o的時(shí)間相等，o到a的時(shí)間與o到e的時(shí)間相等，因此a到b的運(yùn)動(dòng)時(shí)間也等于d到e的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即t=4rg+4Rg=4(R+r)g。

題中小球雖有初速度，但其到達(dá)b點(diǎn)時(shí)的速度卻恰為零，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)的規(guī)律，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間與從b點(diǎn)無初速滑下的時(shí)間相同。若不把軌道分段，小球既不是從圓最高點(diǎn)滑下，也不是滑向最低點(diǎn)，因此無法直接利用“等時(shí)圓”模型，如果可以不改變軌道的傾斜度和長(zhǎng)度，而把軌道進(jìn)行有意識(shí)的平移，使其一端點(diǎn)移到最高點(diǎn)或者最低點(diǎn)，重新構(gòu)建一個(gè)新的“等時(shí)圓軌道”（如圖6）由數(shù)學(xué)知道不難得出軌道的另一端點(diǎn)c恰落在圓周上，從而得到t=4(R+r)g。

評(píng)釋 在已有的幾何圓里尋找等時(shí)圓的蹤跡，利用結(jié)論簡(jiǎn)潔地得出答案；也可以根據(jù)需要自己重新構(gòu)建一個(gè)圓，過任一斜面dc的最高（或者最低點(diǎn)）作一豎直線，在線上尋找一點(diǎn)e，令ec⊥cd，則de即為等時(shí)圓的直徑。

在高中物理的力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)、天體物理、磁場(chǎng)等相關(guān)章節(jié)中屢次出現(xiàn)“圓”的模型，如果能把數(shù)學(xué)中的圓知識(shí)、圓規(guī)律巧妙的應(yīng)用到物理問題的解決過程中來，利用不同的情景促進(jìn)自己對(duì)相關(guān)知識(shí)的進(jìn)一步理解，同時(shí)也培養(yǎng)了自己的知識(shí)遷移能力和物理建模能力，從而真正實(shí)現(xiàn)融會(huì)貫通，學(xué)以致用的根本學(xué)習(xí)目標(biāo)。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。