在中學階段，凡涉及的彈簧都不考慮其質(zhì)量，稱之為“輕彈簧”，是一種常見的理想化物理模型。彈簧總是與其它物體直接或間接聯(lián)系在一起，因彈簧與其“關(guān)聯(lián)物”之間總存在著力、運動狀態(tài)、動量或機械能方面的聯(lián)系，因此彈簧類問題多為綜合性問題，涉及的知識面廣，要求的能力較高，是高考的難點之一。下面分三個方面進行剖析。

1 彈簧與平衡問題

求解策略：此類問題主要涉及彈簧的形變量和彈力大小，分析時一般應(yīng)從彈簧的形變分析入手，先確定彈簧原長位置，現(xiàn)長位置，找出形變量x與物體空間位置變化的幾何關(guān)系，分析形變所對應(yīng)的彈力大小、方向，畫出圖形，然后利用胡克定律結(jié)合平衡條件求解。

例1 如圖1所示，勁度系數(shù)為k1的輕質(zhì)彈簧兩端分別與質(zhì)量為m1、m2的物塊1、2拴接，勁度系數(shù)為k2的輕質(zhì)彈簧上端與物塊2拴接，下端壓在桌面上（不拴接），整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)?，F(xiàn)施力將物塊1緩慢地豎直上提，直到下面那個彈簧的下端剛脫離桌面。在此過程中，物塊2的重力勢能增加了______，物塊1的重力勢能增加了________。

解析 本題中有兩個關(guān)鍵性詞語應(yīng)予重視：“輕質(zhì)”彈簧——即不計彈簧質(zhì)量；“緩慢地”豎直上提——即系統(tǒng)動能無變化，且上提過程中系統(tǒng)受合力始終為零。

根據(jù)題意畫圖如圖2所示。上提前彈簧k1被壓縮Δx1，彈簧k2被壓縮Δx2，于是有：Δx1=m1gk1;Δx2=(m1+m2)gk2

上提后，彈簧k2剛脫離桌面，已恢復原長，不產(chǎn)生彈力，則此時m2僅受到上面彈簧的拉力和重力，于是上面的彈簧k1是拉伸的，其形變量為：Δx′1=m2gk1

由上面的計算可得：物塊2的重力勢能增加了ΔEp2為： ΔEp2=m2gΔx2=m2(m1+m2)g2k2

物塊1的重力勢能增加了 ΔEp1=m1g(Δx1+Δx2+Δx′1)=m1(m1+m2)(1k1+1k2)g2

2 彈簧與運動問題

此類問題主要分為三種：第一種是關(guān)于將要運動的瞬間彈簧彈力是否突變的問題；第二種是關(guān)于在彈簧彈力和其它力共同作用下的勻速或變速運動問題；第三種是在彈簧作用下的簡諧運動。其求解策略分別如下：

求解策略1、不可伸縮的細繩，剛性輕桿與輕彈簧的物理模型有重要區(qū)別，一般是：細繩、剛性輕桿長度認為不變，形變可忽略，繩或桿的彈力可以突變；彈簧的彈力是否突變是有條件的，一般來說，只有當輕質(zhì)彈簧的兩端同時受到其它物體（或力）約束時，其彈力才不會發(fā)生突變，與變化前的彈力相同，如果輕質(zhì)彈簧只有一端受到約束，它的彈力是會發(fā)生突變的。

例2 如圖3所示，兩球質(zhì)量相等，甲圖中兩球用輕質(zhì)彈簧連接后再用細繩吊在頂板上，乙圖兩球用細繩連接后再用輕質(zhì)彈簧吊在頂板上?，F(xiàn)分別將甲、乙兩圖中O點的繩子和彈簧剪斷，問剪斷的瞬間：甲圖中A的加速度為：_______，B球的加速度為:______;乙圖中A的加速度為:______，B球的加速度為:_______。

分析與解 甲圖中剪斷繩子，繩子上的力瞬間消失，AB間彈簧的彈力在此瞬間沒有發(fā)生變化，所以A受到重力和彈簧向下的拉力，B受到彈簧向上的拉力和重力，而彈簧的拉力不變?yōu)閙g，所以A的加速度為2g，B為0。乙圖中剪斷彈簧，對剪斷的彈簧受力分析，下端仍受到A對它向下的拉力，由于彈簧的質(zhì)量為零，它的加速度為無窮大，這說明彈簧恢復形變的時間為零，彈簧的彈力發(fā)生了突變，AB兩球之間的繩子上的彈力也突變?yōu)榱?，于是AB兩球加速度都為g。



求解策略2、彈簧連續(xù)形變其彈力為變力，只在彈簧作用下的運動一般是變速運動，如果與其作用的\"關(guān)聯(lián)物\"做勻變速運動，則必有變化的外力作用，要注意變化的外力存在極值問題。涉及到彈簧做功問題，因彈力為變力一般用動能定理或功能關(guān)系來求解。

例3 A、B兩木塊疊放在豎直輕彈簧上，如圖4所示，已知木塊A、B質(zhì)量分別為0.42kg和0.40kg，彈簧的勁度系數(shù)k=100N/m，若在木塊A上作用一個豎直向上的力F，使A由靜止開始以0.5m/s2的加速度豎直向上做勻加速運動（g=10m/s2）。求：

（1）使木塊A豎直做勻加速運動的過程中，力F的最大值；

（2）若木塊由靜止開始做勻加速運動直到A、B分離的過程中，彈簧的彈性勢能減少了0.248J，求這一過程F對木塊做的功。

解 當F=0（即不加豎直向上的力F時），設(shè)A、B疊放在彈簧上處于平衡時彈簧的壓縮量為x，有

kx=（mA+mB）g①



對A施加F力，分析A、B受力如圖5所示，對A ：F+N-mAg=mAa②

對B：kx′-N-mBg=mBa′③

因為當N≠0時，AB有共同加速度a=a′，由②式知欲使A勻加速運動，隨N減小F增大。當N=0時，F(xiàn)取得了最大值Fm，

即Fm=mA（g+a）=4.41N

又當N=0時，A、B開始分離，仍有a=a′由③式知，

kx′=mB（a+g）

此時，彈簧壓縮量x′=mB（a+g）/k④

AB共同速度 v2=2a（x-x′）⑤

由題知，此過程彈性勢能減少了

WP=EP=0.248J

設(shè)F的功為WF，對這一過程應(yīng)用動能定理或功能原理

WF+EP-（mA+mB）g(x-x′)=12(mA+mB)v2⑥

聯(lián)立①④⑤⑥，且注意到EP=0.248J

可知，WF=9.64×10-2J

求解策略3、要善于利用簡諧運動的特征分析有關(guān)“彈簧類”問題。比如，會用簡諧運動的對稱性分析問題；知道彈簧原長時“關(guān)聯(lián)物”所處的位置不一定是平衡位置——如豎直平面內(nèi)的彈簧振子，水平摩擦不能忽略的彈簧振子等。

例4 如圖6所示，輕彈簧上端懸掛在天花板上，下端連接一個質(zhì)量為M的木板，木板下面再掛一個質(zhì)量為m的物體，當拿去m后，木板速度再次為零時，彈簧恰好恢復原長，求M與m之間的關(guān)系？

解析 考慮到拿去m后，M將做簡諧運動。則拿去m時M所處位置與彈簧剛恢復原長時M所處位置分別為平衡位置兩側(cè)的最大位置處，由M做簡諧運動時力的對稱性可知，在兩側(cè)最大位移處回復力的大小應(yīng)相等，在最低位置處F=mg，方向向上，在最高位置處F=mg，方向向下，所以有M=m。

3 彈簧與守恒問題

此類問題主要涉及彈簧做功與能量轉(zhuǎn)化，以及動量守恒問題的分析，是彈簧問題中最復雜的。

求解策略1、彈簧的彈力對“關(guān)聯(lián)物”做功，必然引起彈性勢能與機械能的相互轉(zhuǎn)化，求解中必須進行透徹的受力分析、運動分析、能量關(guān)系和動量關(guān)系的討論。尤其要弄清楚在這一過程中，彈簧所儲存的彈性勢能的變化。

例5 A、B兩個矩形木塊用輕彈簧相連接，彈簧的勁度系數(shù)為k，木塊A的質(zhì)量為m，木塊B的質(zhì)量為2m，將它們豎直平放在水平地面上，如圖7所示。如果將另一塊質(zhì)量為m的物塊C從距木塊A高H處自由落下，C與A相碰后，立即與A粘合在一起再將彈簧壓縮，此后，A、C不再分開向上彈起，最終能使木塊B剛好離開地面，如果木塊C的質(zhì)量減為m2，要使木塊B不離開水平地面，那么木塊C自由落下的高度h距A不能超過多少？ 

解 C作用之前彈簧是壓縮的，壓縮量為Δx1=mgk

B剛要離開地面時彈簧是拉伸的，伸長量為Δx2=2mgk

所以B剛要離開地面時，A上升的高度為Δx=Δx1+Δx2=3mgk①

設(shè)C與A碰撞前速度為v0，碰撞后為v1，則有mgH=12mv20②

C與A碰撞瞬間動量守恒有：

mv0=(m+m)v1③

由②③解得：v1=2gH2④

當A上升到最高點時，由機械能守恒，與初始狀態(tài)相比，彈簧彈性勢能的增量為

ΔE=12(m+m)v21-(m+m)g×Δx⑤

由①④⑤解得：ΔE=mgH2-6m2g2k⑥

C換成m2后， 有

mgh=12mv′20⑦

12mv′0=(12m+m)v′1⑧

由⑦⑧解得：v′1=132gh⑨

當B剛離地時彈簧勢能的增量與前一次相同，由能量關(guān)系得

ΔE=12(12m+m)v′21-(12m+m)g×Δx⑩

由⑥⑨⑩解得：h=3H-9mgk 

所以h不能超過3H-9mgk。

求解策略2、在彈簧、“關(guān)聯(lián)物”動能與勢能的能量交換中，有從壓縮狀態(tài)恢復原長的，有從伸長狀態(tài)恢復原長的，表現(xiàn)為三種典型狀態(tài)：即彈簧伸長最長、壓縮最短及恢復原長瞬間。對于在彈簧恢復原長的瞬間，除質(zhì)量相等的兩物體速度一個最大，另一個最小為零外，一般速度不會同時達到最大或最小。原先在彈簧作用下加速的物體在彈簧恢復原長的瞬間速度一定最大，而對于受彈簧作用減速的物體則要據(jù)動量守恒和機械能守恒列方程求解。若解得它的速度為正值，則為最小；若為負值，表明已反向加速，則整個過程中此物體的最小速度應(yīng)為零。例6 如圖8所示，輕彈簧的兩端與物塊（質(zhì)量分別為m1、m2 ）連在一起，m1=1kg，m2=2kg將m1、m2放在光滑的水平面上，彈簧自然伸長時，m1靜止在A點，m2靠墻。現(xiàn)用水平力F推m1使彈簧壓縮一段距離后靜止，此過程中力F做功4.5J。當F撤去后，求：

（1）m1在運動過程中的最大速度；

（2）m2在運動過程中的最大速度；

（3）m1在越過A點后速度最小時彈簧的彈性勢能。

解 （1）F撤去后，彈簧恢復原長時m1速度最大，設(shè)為v0，則有

WF=EP=12m1v20

∴v0=2EPm1 =3m/s

(2)m1、m2一起向右運動，當彈簧伸長最長時，m1和m2速度相同，但m2速度并非為最大值，當彈簧恢復原長時，m2加速至速度最大。設(shè)m1、m2速度分別為v1和v2，則有

m1v0=m1v1+m2v2

12m1v20=12m1v21+12m2v22

代入數(shù)據(jù)解得v1=3m/s，v2=0(舍去)或v1=-1m/s，v2=2m/s。故m2在運動過程中最大速度為2m/s，而此時m1速度v1=-1m/s，表明m1已反向加速。

（3）由（2）可知，m1過A點后最小速度為零，此時由m1v0=m1v′1+m2v′2得v′2=1.5m/s，此時彈簧具有的彈性勢能為

ΔEP=12m1v20-12m2v′22=2.25J

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。